Bài 107086

Question

Tìm nguyên hàm của hàm số:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-5x+6} }$

score 0 · Answer 1

Biến đổi I về dạng:

$I=\int\limits f(x)dx=\int\limits \frac{dx}{\sqrt{(x-2)(x-3)} }$

Ta xét hau trường hợp:

+) Trường hợp 1: Với

$\begin{cases}x-2>0 \\ x-3>0 \end{cases} \leftrightarrow x>3$

Đặt

$t=\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}$ suy ra:

$dt=(\frac{1}{2\sqrt{x-2}}+ \frac{1}{2 \sqrt{x-3} })dx=\frac{(\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3})dx }{2 \sqrt{(x-2)(x-3)} }$

$\leftrightarrow \frac{dx}{\sqrt{(x-2)(x-3)} }=\frac{2dt}{t}$

Khi đó:

$\int\limits f(x)dx=2 \int\limits \frac{dt}{t}=2\ln|t|=2\ln|\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}| +C$

+) Trường hợp 2: Với:

$\begin{cases}x-2<0 \\ x-3<0 \end{cases} \leftrightarrow x<2$

Đặt

$t=\sqrt{-x+2}+\sqrt{-x+3}$ suy ra:

$dt=(\frac{1}{2\sqrt{-x+2}}+ \frac{1}{2 \sqrt{-x+3} })dx=\frac{(\sqrt{-x+2}+\sqrt{-x+3})dx }{2 \sqrt{(x-2)(x-3)} }$

$\leftrightarrow \frac{dx}{\sqrt{(x-2)(x-3)} }=-\frac{2dt}{t}$

Khi đó:

$\int\limits f(x)dx=-2 \int\limits \frac{dt}{t}=-2\ln|t|=-2\ln|\sqrt{-x+2}+\sqrt{-x+3}| +C$

1 Đáp án