Ta có:
$\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+2x} } =\frac{2x^2+1}{\sqrt{(x+1)^2-1} }=\frac{a[(x+1)^2-1]}{\sqrt{(x+1)^2-1} } + \frac{b(x+1)}{\sqrt{(x+1)^2-1} }+\frac{c}{\sqrt{(x+1)^2-1} } $
$=\frac{ax^2+(2a+b)x+b+c}{\sqrt{x^2+2x} } $
Đồng nhất đẳng thức, ta được:
$\begin{cases}a=2 \\ 2a+b=0\\b+c=1 \end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}a=2 \\ b=-4 \\c=5\end{cases} $
Khi đó:
$\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+2x} }=2 \sqrt{(x+1)^2-1}- \frac{4(x+1)}{\sqrt{(x+1)^2-1} }+\frac{5}{\sqrt{(x+1)^2-1} } $
Do đó:
$\int\limits f(x)dx=\int\limits [2 \sqrt{(x+1)^2-1}- \frac{4(x+1)}{\sqrt{(x+1)^2-1} }+\frac{5}{\sqrt{(x+1)^2-1} } ]dx$
$=(x+1)\sqrt{x^2+2x}-\ln|x+1+\sqrt{x^2+2x} |-4\sqrt{x^2+2x} +5\ln|x+1$
$+\sqrt{x^2+2x} |+C $
$=(x+1)\sqrt{x^2+2x}+4\ln|x+1+\sqrt{x^2+2x}|-4\sqrt{x^2+2x}+C$