Biến đổi:
$\int\limits f(x)dx=\int\limits \frac{x^3.xdx}{(x^2-1)^3} $
Đặt:
$\begin{cases}u=x^3 \\ dv=\frac{xdx}{(x^2-1)^3} \end{cases} \rightarrow \begin{cases}du=3x^3dx \\ v=-\frac{1}{4(x^2-1)^3} \end{cases} $
Khi đó:
$\int\limits f(x)dx=-\frac{x^3}{4(x^2-1)^2}+\frac{3}{4}\int\limits \frac{x^2dx}{(x^2-1)^2} (1)$
Xét tích phân $J=\int\limits \frac{x^2dx}{(x^2-1)^2} $ bằng cách biến đổi:
$J=\frac{1}{4}\int\limits \frac{[(x+1)+(x-1)]^2dx}{(x^2-1)^2}=\frac{1}{4}\int\limits [\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{(x+1)^2} ]dx $
$=\frac{1}{4}(-\frac{1}{x-1}+\ln|\frac{x-1}{x+1} |-\frac{1}{x+1})+C=\frac{1}{4}(\ln|\frac{x-1}{x+1} | -\frac{2x}{x^2-1})+C (2)$
Thay (2) vào (1) ta được:
$\int\limits f(x)dx=-\frac{x^3}{4(x^2-1)^3}+\frac{3}{16}( \ln|\frac{x-1}{x+1} | -\frac{2x}{x^2-1} )+C$