Đặt $t=x^2$ suy ra:
$dt=2xdx ; \frac{x^2-3}{x(x^4+3x^2+2)}dx =\frac{(t-3)dt}{t(t+1)(t+2)} $
Khi đó:
$\int\limits f(x)dx=\int\limits \frac{t-3}{t(t+1)(t+2)}dt $
Ta có:
$\frac{t-3}{t(t+1)(t+2)}=\frac{a}{t}+\frac{b}{t+1}+\frac{c}{t+2}=\frac{(a+b+c)^2+(3a+2b+c)t+2a}{t(t+1)(t+2)} $
Đồng nhất thức ta có:
$\begin{cases}a+b+c=0 \\ 3a+2b+c=1 \\2a=-3\end{cases} \leftrightarrow \begin{cases}a=-\frac{3}{2} \\ b=4\\c=-\frac{5}{2} \end{cases} $
$\rightarrow \frac{t-3}{t(t+1)(t+2)}=-\frac{3}{2} \frac{1}{t}+\frac{4}{t+1}-\frac{5}{2} \frac{1}{t+2}$
Do đó:
$\int\limits f(x)dx=\int\limits ( -\frac{3}{2} \frac{1}{t}+\frac{4}{t+1}-\frac{5}{2} \frac{1}{t+2})dt=-\frac{3}{2}\ln|t|+4\ln|t+1|-\frac{5}{2}\ln|t+2|+C $
$=-\frac{3}{2}\ln (x^2)+4\ln(x^2+1)-\frac{5}{2}\ln(x^2+2)+C$