a) Vì $1.2+2.(-4)+2.3=0$ nên $(P),(Q)$ là hai mặt phẳng vuông góc
b) $(P),(Q)$ có vecto pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{n}_1 =(1;2;2), \overrightarrow{n}_2=(2;-4;3) $
Vì $(R)$ vuông góc với $(P),(Q)$ nên $\overrightarrow{n}_1, \overrightarrow{n}_2 $ song song hoặc chứa trong $(R)$
$\Rightarrow \overrightarrow{n}_1 \wedge \overrightarrow{n}_2 =(14;1;-8) $ là một vecto pháp tuyến của $(R)$. Lại có $A(2;3;5)\in R$. Suy ra phương trình của $(R)$ là:
$14(x-2)+1(y-3)-8(z-5)=0$ hay $14x+y-8z+9=0$
c) $(\alpha )//(R)\Leftrightarrow \frac{2}{14}=\frac{m}{1}=-\frac{n}{8}\neq \frac{1}{9}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=\frac{1}{7} \\ n=-\frac{8}{7} \end{array} \right. $
Suy ra phương trình $(\alpha ):2x+\frac{1}{7}y-\frac{8}{7}z+1=0$
Đường kính $d$ của mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với hai mặt phẳng $(\alpha ), (R)$ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(\alpha ), (R)$
Thế $y=z=0$ vào phương trình $(\alpha )$ ta được: $x=-\frac{1}{2} \Rightarrow M(-\frac{1}{2};0;0 )\in (\alpha )$ và ta có:
$d=d(M,(R))=\frac{|14(-\frac{1}{2} )+0-8(0)+9|}{\sqrt{14^2+1+8^2} }=\frac{|2|}{\sqrt{261} }=\frac{2}{3\sqrt{29} } $
Suy ra bán kính của mặt cầu $(S)$ là $\frac{1}{3\sqrt{29} } $