Bài 106948

Question

Chứng minh rằng:
$\frac{(C^{n}_{2n})^{2}}{n+1}\leq (C^{0}_{n})^{4}+(C^{1}_{n})^{4}+(C^{2}_{n})^{4}+...+(C^{n}_{n})^{4},\forall n\in N^{*}$

score 0 · Answer 1

Ta có: $(1+x)^{2n}=(1+x)^{n}.(x+1)^{n}$
$\Leftrightarrow C^{0}_{2n}+C^{1}_{2n}x+C^{2}_{2n}x^{2}+...+C^{n}_{2n}x^{n}+...+C^{2n}_{2n}x^{2n}$
$=(C^{0}_{n}+C^{1}_{n}x+C^{2}_{n}x^{2}+...+C^{n}_{n}x^{n})(C^{0}_{n}x^{n}+C^{1}_{n}x^{n-1}+...+C^{n}_{n})$ (*)
Đồng nhất hệ số của $x^{n}$ ở 2 vế đa thức,ta được:
$C^{n}_{2n}=(C^{0}_{n})^{2}+(C^{1}_{n})^{2}+(C^{2}_{n})^{2}+...+(C^{n}_{n})^{2}$
$\Rightarrow (C^{n}_{2n})^{2}=[1.(C^{0}_{n})^{2}+1.(C^{1}_{n})^{2}+1.(C^{2}_{n})^{2}+...+1.(C^{n}_{n})^{2}]^{2}$
$\leq \underbrace {(1^{2}+1^{2}+...+1^{2})}_{n+1 số}[(C^{0}_{n})^{4}+(C^{1}_{n})^{4}+(C^{2}_{n})^{4}+...+(C^{n}_{n})^{4}]$
(Do BĐT Bunhiacopski)
$\Rightarrow \frac{(C^{n}_{2n})^{2}}{n+1}\leq (C^{0}_{n})^{4}+(C^{1}_{n})^{4}+(C^{2}_{n})^{4}+...+(C^{n}_{n})^{4}$
$\Rightarrow $ (ĐPCM)

Bài 106948

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106948

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan