Bài 106796

Question

Chứng minh rằng với mọi $n \in N^*$, ta có:
a) $n^3+11n$ chia hết cho $6$.
b) $4^{2n}-3^{2n}-7$ chia hết cho $84$.

score 0 · Answer 1

Ta chứng minh $2$ mệnh đề trên bằng quy nạp:

a) Đặt $A_n=n^3+11n$
Ta dễ kiểm chứng $A_1=12 \vdots 6$.
Giả sử $A_k \vdots 6$.
$A_{k+1}=(k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11$
           $=k^3+11k+3(k^2+k)+12=A_k+3k(k+1)+12$
$A_k\vdots 6$ theo giả thiết quy nạp, $3k(k+1) \vdots 6$ vì   $k(k+1) \vdots 2$
Theo nguyên lý quy nạp, suy ra $A_{k+1} \vdots 6$.
Vậy $A_n \vdots 6   \forall n \in N^*$

b) Đặt $A_n=4^{2n}-3^{2n}-7$
Dễ thấy $A_1\vdots 84$.
Giả sử $A_k \vdots 84$.
$A_{k+1}=4^2.4^{2k}-3^2.3^{2k}-7=7(4^{2k}+8)+9(4^{2k}-3^{2k}-7)=7(4^{2k}+8)+9A_k$
$A_k \vdots 84$( theo giả thiết quy nạp), mặt khác $4^{2k}+8 \vdots 12$ nên $7(4^{2k}+8) \vdots 84$.
Vậy $A_{k+1}\vdots 84$, suy ra đpcm

Bài 106796

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106796

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan