|
|
a) Nâng lũy thừa $n(n+1)$ cả hai vế của $(1)$, ta có:
$$(n+1)^n<n^{n+1} \Leftrightarrow (\frac{n+1}{n} )^n<n \Leftrightarrow (1+\frac{1}{n} )^n<n$$
$(2)$ đúng với $n=3$ vì $(1+\frac{1}{3} )^3=\frac{64}{27}<3 $
Giả sử $(2)$ đúng với $n=k$, ta có: $(1+\frac{1}{k} )^k<k$
Với $n=k+1$, VT của $(2)$ có dạng:
$$(1+\frac{1}{k+1})^{k+1}=(1+\frac{1}{k+1} )^k(1+\frac{1}{k+1} )<(1+\frac{1}{k})^k(1+\frac{1}{k+1} )$$
Theo giả thiết quy nạp $(1+\frac{1}{k})^k<k$ nên:
$$(1+\frac{1}{k+1} )^{k+1}<k(1+\frac{1}{k+1} )=k+\frac{k}{k+1}<k+1 $$
Vậy $(1+\frac{1}{k+1} )^{k+1}<k+1$, theo nguyên lí quy nạp $(1)$ được chứng minh.
Nhận xét: Các bạn cũng có thể chứng minh hàm $\dfrac{\ln{x}}{x}$ nghịch biến với $x\ge3$
b) Đặt $a_1-1=a'_1, a_2-1=a'_2, ..., a_n-1=a'_n$.
Lúc đó $(2)$ có dạng $\left| {a'_1+a'_2+...+a'_n} \right| \leq \left| {a'_1} \right| + \left| {a'_2} \right|+...+\left| {a'_n} \right| (2' )$
$(2')$ đúng với $n=1$ vì $\left| {a'_1} \right| = \left| {a'_1} \right|$, $(2)$ cũng đúng với $n=2$ vì
$$\left| {a'_1+a'_2} \right| \leq \left| {a'_1} \right|+ \left| {a'_2} \right|$$
Giả sử $(2')$ đúng với $n=k \geq 2$. Đặt $a'_1+a'_2+...+a'_k=A_k$, ta có:
$$\left| {A_k} \right| \leq \left| {a'_1} \right|+ \left| {a'_2} \right| +...+\left| {a'_k} \right|$$
nhưng $\left| {A_k+a'_{k+1}} \right| \leq \left| {A_k} \right| + \left| {a'_{k+1}} \right| $, theo giả thiết quy nạp, ta có
$$\left| {A_k+a'_{k+1}} \right| \leq \left| {a'_1} \right|+ \left| {a'_2} \right|+...+\left| {a'_{k+1}} \right|$$
hay $\left| {A_{k+1}} \right| \leq \left| {a'_1} \right| +\left| {a'_2} \right|+...+\left| {a'_{k+1}} \right|$, từ đây theo nguyên lí quy nạp, ta suy ra $(2)$ được chứng minh.
|