Bài 106573

Question

Cho $d_1:\left\{ \begin{array}{l} x=1-t\\ y=2+2t\\z=3t \end{array} \right. (t \in R); d_2:\left\{ \begin{array}{l} x=1+t\\ y=3-2t'\\z=1 \end{array} \right. (t' \in R)$
a) Chứng minh rằng $d_1, d_2$ chéo nhau
b) Tìm phương trình đường vuông góc chung của $d_1,d_2$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/2/2012 10:20:44 AM

a) $d_1$ đi qua $A(1;2;0)$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}=(-1;2;3) $
$d_2$ đi qua $B(1;3;1)$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{b}=(1;-2;0) $
$\overrightarrow{AB}=(0;1;1); [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ]=(6;3;0) $
Xét $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ].\overrightarrow{AB}=3 \neq 0$
Suy ra ba vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}, \overrightarrow{AB} $ không đồng phẳng
Suy ra $d_1,d_2$ chéo nhau

b) Gọi $d$ là đường vuông góc chung của $d_1,d_2$
Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa $d_1$ qua $d$
$(\beta )$ là mặt phẳng chứa $d_2$ qua $d$
Đường thẳng $d$ phải tìm chính là giao tuyến hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$
Gọi $\overrightarrow{c} $ là vecto chỉ phương của $d$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{c}\bot \overrightarrow{a} với \overrightarrow{a}=(-1;2;3) \\\overrightarrow{c}\bot \overrightarrow{b} với \overrightarrow{b}=(1;-2;0) \end{array} \right. $
$\Rightarrow [\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} ]=(6;3;0)$
Chọn $\overrightarrow{c}=(2;1;0) $
$mp(\alpha )$ có cặp vecto chỉ phương: $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{c}=(2;1;0) \\ \overrightarrow{a}=(-1;2;3) \end{array} \right. $
Suy ra $(\alpha )$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}_1=[\overrightarrow{c},\overrightarrow{a} ]=(3;-6;5) $
Suy ra phương trình $(\alpha ):3x-6y+5z+D=0$
$(\alpha )$ qua $A(1;2;0) \Rightarrow D=9\Rightarrow (\alpha ):3x-6y+5z+9=0$
$(\beta )$ có cặp vecto chỉ phương:$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{c}=(2;1;0) \\ \overrightarrow{b}=(1;-2;0) \end{array} \right. $
$\Rightarrow \overrightarrow{n}_2=[\overrightarrow{c},\overrightarrow{b} ]=(0;0;-5) $
Chọn $\overrightarrow{n}_2=(0;0;1)\Rightarrow (\beta ):z+D=0 $
$(\beta )$ qua $B(1;3;1)\Rightarrow D=-1\Rightarrow (\beta ):z-1=0$
Vậy $d=(\alpha )\cap (\beta )$ nên phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} 3x-6y+5z+9=0\\ z-1=0 \end{array} \right. $

Bài 106573

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106573

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan