Bài 106099

Question

Giải bất phương trình:
$\frac{ x+ \sqrt{ x}}{1- \sqrt{ 2 \left( x^{2} –x +1 \right) }} \geq 1(*)$

score 0 · Answer 1

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} x\geq 0\\0\leq{x^2-x+1}\neq \frac{1}{2}\end{array} \right.$
Dấu mẫu số $1- \sqrt{ 2 \left( x^{2} –x +1 \right) }$ là dấu của:
$\left(1- \sqrt{ 2 \left( x^{2} –x +1 \right) }   \right) \left( 1+ \sqrt{ 2 \left( x^{2} –x +1 \right) } \right)$
$=1-2 x^{2} +2x-2= -2 x^{2} +2x-1<0 $ (do vế trái có $\Delta ‘=-1<0$)
Khi đó $(*) \Leftrightarrow x- \sqrt{ x} \leq 1- \sqrt{ 2 \left( x^{2} –x+1   \right) }$
$\Leftrightarrow \sqrt{ 2 \left( x^{2} –x+1   \right) } \leq –x+ \sqrt{ x}+1$
$\Leftrightarrow \begin{cases}-x+ \sqrt{ x}+1 \geq 0    \\ 2 x^{2} -2x +2 \leq x^{2} +x+1-2x-2x \sqrt{ x}+2 \sqrt{ x}   \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} –x+ \sqrt{ x}+1 \geq 0   \\ \left( x^{2} -2x+1 \right) + 2 \sqrt{ x} \left( x-1 \right) +x \leq 0   \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} –x+ \sqrt{ x}+1 \geq 0   \\ [\left( x-1 \right) + \sqrt{ x}]^{2} \leq 0   \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -x+ \sqrt{ x}+1 \geq 0 \\ \sqrt{ x}=1-x   \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} 0 \leq x \leq 1   \\ x=1-2x+ x^{2}     \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 \leq x \leq 1   \\ x^{2} -3x+1=0   \end{cases} $
$\Leftrightarrow x= \frac{ 3-\sqrt{ 5}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm phương trình đã cho là $x= \frac{ 3-\sqrt{ 5}}{2} $.

Bài 106099

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106099

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình vô tỉ

Lý thuyết liên quan