Bài 106091

Question

Cho ba số thực dương

$x,y,z$ thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=x(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz})+y(\frac{y}{2}+\frac{1}{zx})+z(\frac{z}{2}+\frac{1}{xy})$

score 0 · Answer 1

Biến đổi

$A$ về dạng:

$A=(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2})+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}$ .
Nhận xét rằng:

$x^2+y^2+z^2=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{y^2+z^2}{2}+\frac{z^2+x^2}{2}\geq xy+yz+zx$
do đó, ta được bất đẳng thức:

$A\geq (\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}) +\frac{xy+yz+zx}{xyz}= (\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}) + \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

$= (\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x})+(\frac{y^2}{2}+\frac{1}{y})+(\frac{z^2}{2}+\frac{1}{z})$

$= (\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}) + (\frac{y^2}{2}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}) + (\frac{z^2}{2}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z})$

$\geq 3\sqrt[3]{ \frac{x^2}{2}.\frac{1}{2x}.\frac{1}{2x} }+3\sqrt[3]{ \frac{y^2}{2}.\frac{1}{2y}.\frac{1}{2y} }+3\sqrt[3]{ \frac{z^2}{2}.\frac{1}{2z}.\frac{1}{2z} }=\frac{9}{2}$
Vậy, ta có

$A_{\min}= \frac{9}{2}$ , đạt được khi:

$\begin{cases}x=y=z \\\frac{x^2}{2}=\frac{1}{2x} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=z \\ x^3=1 \end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1$ .

Bài 106091

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106091

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan