Bài 106090

Question

Cho các số nguyên dương $k,n$ và các số thực dương $a_1,a_2,...,a_n$ thỏa mãn $a_1+a_2+...+a_n\geq k$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\frac{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n}{a_1^{n+1}+a_2^{n+1}+...+a_k^{n+1}}$

score 0 · Answer 1

Cho mọi số thực dương $a$, ta có:
$(a^n-1)(a-1)\geq 0$
và do đó:
$a^{n+1}-a^n\geq a-1$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=1$
Sử dụng bất đẳng thức này cho các số thực $a_i$ đã cho và cộng tất cả các bất đẳng thức thu được theo từng vế ta có:
$( a_1^{n+1}+a_2^{n+1}+...+a_k^{n+1} )-(a_1^n+a_2^n+...+a_k^n)\geq a_1+a_2+...+a_n-k$.
Do giả thiết ban đầu bài toán cho là $a_1+a_2+...+a_n-k\geq 0$, suy ra:
$\frac{a_1^n+a_2^n+...+a_n^n}{a_1^{n+1}+a_2^{n+1}+...+a_n^{n+1}}\leq 1$.
Đẳng thức đạt được khi và chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n=1$.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức bằng $1$ khi và chỉ khi : $a_1=a_2=...=a_n=1$.

Bài 106090

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106090

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan