Bài 106074

Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$\frac{x^{20}}{y^{11}}+\frac{y^{20}}{z^{11}}+\frac{z^{20}}{x^{11}}$
trong đó, $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=2001$

score 0 · Answer 1

Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho $20$ số, trong đó có $11$ số $y$ và $8$ số $667$ ta có:
$ \frac{x^{20}}{y^{11}667^8}+11y+8.667\geq 20\sqrt[20]{ \frac{x^{20}}{y^{11}667^8} .y^{11}.667^8}=20x $
tương tự:
$ \frac{y^{20}}{z^{11}667^8}+11z+8.667\geq 20y;$
$ \frac{z^{20}}{x^{11}667^8}+11x+8.667\geq 20z$ .
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên và bằng biến đổi đơn giản , ta thu được bất đẳng thức:
$\frac{x^{20}}{y^{11}}+\frac{y^{20}}{z^{11}}+\frac{z^{20}}{x^{11}}\geq [9(x+y+z)-3.8.667].667^8=3.667^9$
với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=667$.
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là $3.667^9$

Bài 106074

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106074

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan