Bài 106067

Question

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
$(x^{a_1}+ x^{a_2} +...+ x^{a_n} )(\frac{1}{ x^{a_1} }+\frac{1}{ x^{a_2} }+...+\frac{1}{ x^{a_n} })$
trong đó, $x$ là số thực dương, $x\neq 1; m,n $ là các số tự nhiên, $n$ chẵn và $a_1, a_2,...,a_n$ thuộc đoạn $[m,m+1]$

score 0 · Answer 1

Đặt $x^{a_i}=t_i(i=1,2,...,n)$.
Ta có:
$t_i\in [x^m, x^{m+1}]$ và $(t_i-x^m)(t_i-x^{m+1})\leq 0$
$\Leftrightarrow t_i^2-(x+1)t_ix^m+x^{2m+1}\leq 0$.
Suy ra: $t_i+ x^{2m+1}\frac{1}{t_i}\leq (x+1)x^m$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc $t_i=x^m$ hoặc $t_i=x^{m+1}$ .
Vậy, nên theo đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta thu được:
$(x+1)nx^m\geq \sum\limits_{i = 1}^n {t_i} +x^{2m+1} \sum\limits_{i = 1}^n \frac{1}{t_i} \geq 2\sqrt{x^{2m+1} \sum\limits_{i = 1}^n {t_i} \sum\limits_{i = 1}^n \frac{1}{t_i} }$ .
Do đó:
$\frac{(x+1)^2n^2x^{2m}}{2^2x^{2m+1}}\geq \sum\limits_{i = 1}^n {t_i} \sum\limits_{i = 1}^n \frac{1}{t_i} $
hay:
$ (x^{a_1}+ x^{a_2} +...+ x^{a_n} )(\frac{1}{ x^{a_1} }+\frac{1}{ x^{a_2} }+...+\frac{1}{ x^{a_n} } )\leq\frac{n^2(x+1)^2}{4x}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có $k$ số $a_i$ bằng $m$ và $k$ số còn lại bằng $m+1(n=2k)$.

Bài 106067

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106067

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan