|
|
Từ các bất đẳng thức đã cho, bằng cách nhân lên hệ số $3,2$, ta có các bất đẳng thức tương đương:
$|6x-3y|\leq 9$ và $|x-3y|\leq 1 (1)$
$|2x-y|\leq 3$ và $|2x-6y| \leq 2 (2)$
Sử dụng bất đẳng thức : $|A+B| \leq |A|+|B|$
(đẳng thức chỉ xảy ra khi $A,B$ cùng dấu) , từ $(1),(2)$ ta thu được:
$|5x|=|(6x-3y)+(3y-x)|\leq |6x-3y|+|3y-x|\leq 9+1=10$
$\Rightarrow |x|\leq 2$.
$|5y|=|(2x-y)+(6y-2x)|\leq |2x-y|+|6y-2x|\leq 3+2=5$
$\Rightarrow |y|\leq 1$ .
Như vậy, $x^2+y^2+xy\leq x^2+|xy|+y^2\leq 4+2+1=7$
Đẳng thức đó xảy ra khi và chỉ khi: $|x|=2, |y|=1$.
trong đó, $x,y$ cùng dấu , hay $(x,y)$ bằng $(2,1)$ hoặc $(-2,-1)$
Khi đó: $x^2+xy+y^2=7$ .
|