|
|
Vì (a,b,c) là một hoán vị vòng quanh trong T nên không làm mất tính tổng quát , ta có thể giả thiết a≥b,a≥c.
Ta có: b2+1c2+1+c2+1a2+1≤(b+c)2+1+1a2+1(1)
Thật vậy, (1)⇔c2a2+1≤(b+c)2c2+(b+c)2+c2−b2c2+1
Vậy, (1) được chứng minh và từ (1) suy ra:
T≤a2+(b+c)2+1a2+1+2(2)
Ta sẽ đi chứng minh: a2+(b+c)2+1a2+1≤32(3)
Thật vậy, thay b+c=1−a và thự chiện các phép biến đổi đơn giản, ta có:
(3)⇔(1−a)(1−3a−4a3)2(1+a2)≤0
Từ giả thiết về a,b,c ta suy ra 1≥a≥13.
Do đó, 1−3a−4a3<0 và (3) được chứng minh.
Từ (2),(3) suy ra:
T≤72
Ta có T=72 khi và chỉ khi (1),(2),(3) là những đẳng thức . Điều này tương đương với a=1,b=c=0.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức bằng 72, đạt được khi một trong ba số a,b,c bằng 1 và hai số còn lại bằng 0.
|