Bài 106060

Question

Cho $a,b,c $ là ba số dương cho trước, $x,y,z$ là ba số dương thay đổi, luôn thỏa mãn điều kiện:
$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1$.
Với mỗi số nguyên dương $n$, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng :
$S_n=x^n+y^n+z^n(n=1,2,3...)$

score 0 · Answer 1

Để ý rằng:
$\sqrt[n+1]{a^n}=\sqrt[n+1]{\frac{a}{x}}\sqrt[n+1]{x^n}$.
Do vậy áp dụng công thức cho $n+1$ bộ số, trong đó:
   $n$ bộ $(\sqrt[n+1]{\frac{a}{x}},\sqrt[n+1]{\frac{b}{y}},\sqrt[n+1]{\frac{c}{z}})$
và bộ $\sqrt[n+1]{x^n},\sqrt[n+1]{y^n},\sqrt[n+1]{z^n}$
ta được:
    $(\sqrt[n+1]{a^n}+\sqrt[n+1]{b^n}+\sqrt[n+1]{c^n})^{n+1}$
$=\Big[\Big(\sqrt[n+1]{\frac{a}{x}}\Big)^n .\sqrt[n+1]{x^n}+\Big(\sqrt[n+1]{\frac{b}{y}}\Big)^n .\sqrt[n+1]{y^n}+\Big(\sqrt[n+1]{\frac{c}{z}}\Big)^n .\sqrt[n+1]{z^n} \Big ]$
$\leq (\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z})^n(x^n+y^n+z^n)=S_n$.
Vậy $\min S_n=(\sqrt[n+1]{a^n}+\sqrt[n+1]{b^n}+\sqrt[n+1]{c^n})^{n+1}$, đạt được khi:
     $x^n:\frac{a}{x}=y^n:\frac{b}{y}=z^n:\frac{c}{z}\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1 \\ \frac{x^{n+1}}{a}=\frac{y^{n+1}}{b}=\frac{z^{n+1}}{c} \end{cases}$
     $\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1 \\ \frac{x}{\sqrt[n+1]{\sqrt{a}}}=\frac{y}{\sqrt[n+1]{\sqrt{b}}}=\frac{z}{\sqrt[n+1]{\sqrt{c}}} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{\sqrt[n+1]{a}}{\sqrt[n+1]{a^n}+\sqrt[n+1]{b^n}+\sqrt[n+1]{c^n}} \\ y=\frac{\sqrt[n+1]{b}}{\sqrt[n+1]{a^n}+\sqrt[n+1]{b^n}+\sqrt[n+1]{c^n}} \\ z=\frac{\sqrt[n+1]{c}}{\sqrt[n+1]{a^n}+\sqrt[n+1]{b^n}+\sqrt[n+1]{c^n}} \end{cases}$

Bài 106060

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106060

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan