Bài 106057

Question

Xét các số thực không âm

$x,y$ thỏa mãn:

$x^3+y^3\leq 1 (*)$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$f(x,y)=2\sqrt{x}+\sqrt{y}$

score 0 · Answer 1

Áp dụng bunhiacôpski cho hai bộ số:

$(\sqrt{x},\sqrt[5]{2},\sqrt[5]{2},\sqrt[5]{2},\sqrt[5]{2},\sqrt[5]{2})$ và

$(\sqrt{y},1,1,1,1,1)$
ta được:

$(2\sqrt{x}+\sqrt{y})^6\leq(\sqrt[5]{64}+1)^5(x^3+y^3)\leq (\sqrt[5]{64}+1)^5$
do

$(*)$ và

$\sqrt[5]{64}+1>0$ , suy ra:

$f(x,y)\leq \sqrt[6]{(\sqrt[5]{64}+1)^5}$ .
Dấu

$"="$ đạt được khi và chỉ khi:

$\begin{cases} \displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[5]{2}}= \frac{\sqrt{y}}{1}\\ x^3+y^3=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= \displaystyle \frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[3]{\sqrt[5]{64}+1}}\\ y= \displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt[5]{64}+1}} \end{cases} (**)$
Vậy

$\max f(x,y)=\sqrt[6]{(\sqrt[5]{64}+1)^5}$ , đạt được khi

$x,y$ thỏa mãn

$(**)$

Bài 106057

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106057

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan