|
|
Áp dụng bunhiacôpski cho hai bộ số:
$(\sqrt{x},\sqrt[5]{2},\sqrt[5]{2},\sqrt[5]{2},\sqrt[5]{2},\sqrt[5]{2})$ và $(\sqrt{y},1,1,1,1,1)$
ta được:
$(2\sqrt{x}+\sqrt{y})^6\leq(\sqrt[5]{64}+1)^5(x^3+y^3)\leq (\sqrt[5]{64}+1)^5$
do $(*)$ và $\sqrt[5]{64}+1>0$ , suy ra:
$f(x,y)\leq \sqrt[6]{(\sqrt[5]{64}+1)^5}$.
Dấu $"="$ đạt được khi và chỉ khi:
$\begin{cases} \displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[5]{2}}= \frac{\sqrt{y}}{1}\\ x^3+y^3=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=
\displaystyle \frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[3]{\sqrt[5]{64}+1}}\\ y=
\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt[5]{64}+1}} \end{cases} (**)$
Vậy $\max f(x,y)=\sqrt[6]{(\sqrt[5]{64}+1)^5}$, đạt được khi $x,y$ thỏa mãn $(**)$
|