Bài 106041

Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a)

$y=\cos x+\frac{1}{\cos x}$ (với

$-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ )
b)

$y=\sin x+\frac{1}{\sin x}$ ( với

$0<x<\pi$ )
c)

$y=\sin^2+\frac{1}{\sin^2}+\sin x-\frac{1}{\sin x}$ ( với

$0<x<\pi$ )

score 0 · Answer 1

Giải
a) Ta có:

$y=t+\frac{1}{t}$ (với

$t=\cos x, 0<t \leq 1$ )
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$t+\frac{1}{t}\geq 2\sqrt{t.\frac{1}{t}}=2 \Leftrightarrow y\geq 2$

$y=2$ khi

$t=\frac{1}{t}=1 \Leftrightarrow \cos x=1 \Leftrightarrow x=0$ . Vậy

$y_{\min}=2$
b) Đặt:

$t=\sin x$ thì

$0<t\leq 1$ khi

$0<x<\pi$ . Vẫn theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$y=t+\frac{1}{t} \geq 2$

$y=2 \Leftrightarrow t=\frac{1}{t}=1 \Leftrightarrow \sin x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}$ . Vậy

$y_{\min}=2$
c)

$y=\sin^2 x+\frac{1}{\sin^2 x}+\sin x-\frac{1}{\sin x}$

$=(\sin x-\frac{1}{\sin x})^2+2+(\sin x-\frac{1}{\sin x})$

$=t^2+2+t$ ( với

$t=\sin x-\frac{1}{\sin x}$ )
Với

$0<x<\pi \Rightarrow 0<\sin x\leq 1 \Rightarrow 1\leq \frac{1}{\sin x}<\infty$

$\Rightarrow -\infty<t=\sin x-\frac{1}{\sin x}\leq 0$
Ta có:

$y=t^2+t+2$ với

$t\in (-\infty;0) \Rightarrow y=(t+\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}\geq \frac{7}{4}$

$y=\frac{7}{4}\Leftrightarrow t+\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow t=-\frac{1}{2} \in (-\infty;0)$ . vậy

$y_{\min}=\frac{7}{4}$

1 Đáp án