Bài 106041

Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) $y=\cos x+\frac{1}{\cos x}$ (với $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$)
b) $y=\sin x+\frac{1}{\sin x} $ ( với $0<x<\pi$)
c) $y=\sin^2+\frac{1}{\sin^2}+\sin x-\frac{1}{\sin x}$ ( với $0<x<\pi$)

score 0 · Answer 1

Giải
a) Ta có: $y=t+\frac{1}{t}$ (với $t=\cos x, 0<t \leq 1$)
   Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: $t+\frac{1}{t}\geq 2\sqrt{t.\frac{1}{t}}=2 \Leftrightarrow y\geq 2$
      $y=2$ khi $t=\frac{1}{t}=1 \Leftrightarrow \cos x=1 \Leftrightarrow x=0$. Vậy $y_{\min}=2$
b) Đặt: $t=\sin x$ thì $0<t\leq 1$ khi $0<x<\pi$. Vẫn theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: $y=t+\frac{1}{t} \geq 2$
    $y=2 \Leftrightarrow t=\frac{1}{t}=1 \Leftrightarrow \sin x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}$. Vậy $y_{\min}=2$
c) $y=\sin^2 x+\frac{1}{\sin^2 x}+\sin x-\frac{1}{\sin x}$
    $=(\sin x-\frac{1}{\sin x})^2+2+(\sin x-\frac{1}{\sin x})$
    $=t^2+2+t$ ( với $t=\sin x-\frac{1}{\sin x}$)
   Với $0<x<\pi \Rightarrow 0<\sin x\leq 1 \Rightarrow 1\leq \frac{1}{\sin x}<\infty $
    $\Rightarrow -\infty<t=\sin x-\frac{1}{\sin x}\leq 0$
Ta có: $y=t^2+t+2$ với $t\in (-\infty;0) \Rightarrow y=(t+\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}\geq \frac{7}{4}$
       $y=\frac{7}{4}\Leftrightarrow t+\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow t=-\frac{1}{2} \in (-\infty;0)$. vậy $y_{\min}=\frac{7}{4}$

Bài 106041

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106041

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan