|
|
Đặt xi=ai−1,i=1,2,...,n.
Ta có:
|xi|≤1 và x1+x2+...+xn=0
Khi đó:
a21+a22+...+a2n=(x1+1)2+(x1+1)2+...+(x1+1)2
=n+x21+x22+...+x2n≤2n.
Trường hợp 1: Nếu n chẵn , n=2m.
Bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức khi và chỉ khi : m số xi bằng 1 và m số xi bằng −1 tức là m số ai, bằng 0 và m số ai bằng 2.
Trường hợp 2: Nếu n lẻ, n=2m+1(m∈N∗)
Không mất tính tổng quát, giả sử x1,x2,...,xk≤0;xk+1,...,xn>0.
Ta có:
x21+x22+..+x2n≤|x1|+|x2|+...+|xn|(|xi|≤1∀i)
=−x1−x2−...−xk+xk+1+...+xn
=2(xk+1+...+xn)(1)
=−2(x1+x2+...+xk)(2)
Từ (1) suy ra:
x21+x22+...+x2n≤2(n−k)
Từ (2) suy ra:
x21+x22+...+x2n≤2k.
Do đó:
x21+x22+...+x2n≤2.min.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong các số x_1+x_2+...+x_n có m số x_i bằng -1, m số x_i bằng 1, 1 số bằng 0, tức là có m số a_i bằng 0, m số a_i bằng 2, 1 số a_i bằng 1.
Trong cả hai trường hợp trên:
\max (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)=n+2\Big\lfloor\frac{n}{2}\Big\rfloor
\Rightarrow \max (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)=2n+2\Big\lfloor\frac{n}{2}\Big\rfloor
|