|
|
Đặt $x_i=a_i-1 , i=1,2,...,n$.
Ta có:
$|x_i|\leq 1$ và $x_1+x_2+...+x_n=0$
Khi đó:
$a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=(x_1+1)^2+(x_1+1)^2+...+(x_1+1)^2$
$=n+x_1^2+x_2^2+...+x_n^2\leq 2n$.
Trường hợp 1: Nếu $n$ chẵn , n=2m.
Bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức khi và chỉ khi : $m$ số $x_i$ bằng $1$ và $m$ số $x_i$ bằng $-1$ tức là $m$ số $a_i$, bằng $0$ và $m$ số $a_i$ bằng $2$.
Trường hợp 2: Nếu $n$ lẻ, $n=2m+1 (m\in N^*)$
Không mất tính tổng quát, giả sử $x_1,x_2,...,x_k\leq 0; x_{k+1}, ..., x_n>0$.
Ta có:
$x_1^2+x_2^2+..+x_n^2\leq |x_1|+|x_2|+...+|x_n| (|x_i|\leq 1 \forall i)$
$=-x_1-x_2-...-x_k+x_{k+1}+...+x_n$
$=2(x_{k+1}+...+x_n) (1)$
$=-2(x_1+x_2+...+x_k) (2)$
Từ $(1)$ suy ra:
$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2\leq 2(n-k)$
Từ $(2)$ suy ra:
$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2\leq 2k$.
Do đó:
$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2\leq 2 . \min (k, n-k)\leq 2m$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong các số $x_1+x_2+...+x_n$ có $m$ số $x_i$ bằng $-1, m $ số $x_i$ bằng $1, 1$ số bằng $0$, tức là có $m$ số $a_i $ bằng $0, m$ số $a_i$ bằng $2, 1$ số $a_i$ bằng $1$.
Trong cả hai trường hợp trên:
$\max (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)=n+2\Big\lfloor\frac{n}{2}\Big\rfloor$
$\Rightarrow \max (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)=2n+2\Big\lfloor\frac{n}{2}\Big\rfloor$
|