Bài 105959

Question

Trong không gian với hệ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 2); B(1; 1; 0); C(0; 0; 1); D(1; 1; 1)
1. Tính thể tích tứ diện ABCD
2. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện tại đỉnh A

score 0 · Answer 1

1. Ta có:
$\overrightarrow{AB}=(0;1;-2) $
$\overrightarrow{AC}=(-1;0;-1) $
$\overrightarrow{AD}=(0;1;-1) $
$\left[ {\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}} \right]=(-1;2;1) $
$V= \frac{1}{6}|\left[ {\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}} \right] . \overrightarrow{AD} |= \frac{1}{6} $
2. Giả sử mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:
       $(S): x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$, điều kiện $a^2+b^2+c^2-d>0$
Từ các điều kiện :
+) Điểm $A\in (S): \Leftrightarrow 2a+4c-d=5       (1)$
+) ĐIểm $B\in (S) \Leftrightarrow 2a+2b-d=2         (2)$
+) Điểm $C\in (S) \Leftrightarrow 2c-d=1                 (3)$
+) ĐIểm $D\in(S) \Leftrightarrow 2a+2b+2c-d=3          (4)$
Giải hệ bởi (1); (2); (3); (4) ta được:
$\begin{cases}2a+4c-d=5 \\ 2a=2b-d=2 \\ 2c-d=1 \\ 2a+2b+2c-d=3 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}2a+2c=4 \\ 2a+2b-2c=1 \\ d=2c-1 \\ 2a+2b=2 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}a=\frac{3}{2} \\ b=-\frac{1}{2} \\ c=\frac{1}{2} \\ d=0 \end{cases} $
Vậy phương trình mặt cầu (S) có dạng:
$(S): x^2+y^2+z^2-3x+y-z=0 \Rightarrow I( \frac{3}{2}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2})   $
Gọi (P) là mặt phẳng qua A tiếp xúc với (S) ta được:
    $(P): \begin{cases}qua A(1; 0; 2) \\ vtpt \overrightarrow{AI}(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; -\frac{3}{2})     \end{cases}   $
mp $(P)$: $\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}(z-2)=0   $
$\Leftrightarrow x-y-3z+5=0$

Bài 105959

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105959

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan