Bài 105950

Question

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình:
$(P): 2x+y+3z-2=0 ; (S): (x-4)^2+(y-2)^2+(z-2)^2= \frac{7}{2} $
1. Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)
2. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
3. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn

score 0 · Answer 1

1. Xét mặt cầu (S) có tâm I(4; 2; 2) và bán kính $R =\sqrt{\frac{7}{2} } $, ta có:
     $d(I, (P))=\frac{|2.4+2+3.2-2|}{\sqrt{2^2+1^2+3^2} }=\sqrt{14}>\sqrt{\frac{7}{2} }   $
Do đó, mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S)
2. Gọi (Q) là mặt phẳng cần dựng, ta lần lượt sử dụng giả thiết:
+) (Q) song song với (P) nên có phương trình:
$(Q): 2x+y+3z+D=0           (1)$
+) (Q) tiếp xúc với (S), suy ra:
$d(I, (Q))= R \Leftrightarrow \frac{|2.4+2+3.2+D|}{\sqrt{2^2+1^2+3^2} }=\sqrt{\frac{7}{2} }   \Leftrightarrow |16+D|=7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D_1=-9\\D_2 = -23\end{array} \right.$
Khi đó:
+) Với $D_1=-9$ thay vào (1), ta được mặt phẳng $(Q_1): 2x+y+3z-9=0$
+) Với $D_2=-23$, thay vào (1) ta được mặt phẳng $(Q_2): 2x+y+3z-23=0$
Vậy tồn tại hai mặt phẳng $(Q_1)$ và $(Q_2)$ thoả mãn điều kiện đề bài.
3. Gọi (R) là mặt phẳng cần dựng, ta lần lượt sử dụng giả thiết:
+) (R) song song với (P) nên có phương trình:
              $(R): 2x+y+3z+D=0$
+) (R) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn, suy ra:
            $I\in (R) \Leftrightarrow 2.4+2+3.2+D =0 \Leftrightarrow D=-16$
Vậy phương trình mặt phẳng (R) cần dựng có dạng $2x+y+3z-16=0$

Bài 105950

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105950

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan