Bài 105919

Question

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$(a_1+a_2+a_3)(a_3+a_4+a_5)(a_5+a_6+a_1)$
trong đó

$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ lấy các giá trị khác nhau trong tập hợp

$\{1,2,3,4,5,6\}$

score 0 · Answer 1

Đặt

$F=(a_1+a_2+a_3)(a_3+a_4+a_5)(a_5+a_6+a_1)=F(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$
a. Tìm giá trị lớn nhất của

$F$ .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

$F\leq \Big[\frac{(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6)+(a_1+a_3+a_5)}{3}\Big]^3$

$=\Big[\frac{21+(a_1+a_3+a_5)}{3}\Big]\leq \Big[\frac{21+(6+5+4)}{3}\Big]^3=1728$ .
Khi lấy

$a_1=6,a_2=1,a_3=5,a_4=3,a_5=4,a_6=2$ thì

$F=1728$ .
Vậy

$F$ lớn nhất là

$1728$ .
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của

$F$ .
Do vai trò bình đẳng của

$a_2,a_4,a_6$ nên có thể giả sử:

$a_2=\min (a_2,a_4,a_6)$ .
Vì

$F$ chỉ có không quá

$6!=720$ giá trị nên giá trị nhỏ nhất của

$F$ tồn tại.
Giả sử

$F$ nhỏ nhất khi:

$a_1=n_1,a_2=n_2,a_3=n_3,a_4=n_4,a_5=n_5,a_6=n_6$
với

$\{n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,n_6\}=\{1,2,3,4,5,6\}$ .
-Nếu

$n_2\leq 2$ thì trong hai số

$n_1,n_3$ phải có một số lớn hơn

$n_2$ giả sử

$n_1>n_2$ .
Khi đó:

$F(n_2,n_1,n_3,n_4,n_5,n_6)<F(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,n_6)$ , mâu thuẫn.
-Nếu

$n_2=3$ thì trong hai số

$n_1,n_2$ nếu có số lớn hơn

$n_2$ thì dẫn đến mâu thuẫn như ở trên.Nếu

$(n_1,n_3)=(1,2)$ thì thử các khả năng ta có:

$F\geq 720$ .
-Nếu

$n_2\geq 4$ thì

$n_4\geq 4, n_6\geq 4$ nên

$\{n_2,n_4,n_6\}=\{4,5,6\}$ suy ra

$\{n_1,n_3,n_5\}=\{1,2,3\}$ . Thử các khả năng ta có

$F\geq 693$ .
Khi

$a_1=1,a_2=4,a_3=2,a_4=5,a_5=3,a_6=6$ thì

$F=693$ .
Vậy, giá trị nhỏ nhất của

$F$ là

$693$

1 Đáp án