Bài 105860

Question

Cho

$\triangle ABC$ đều, cạnh

$a$ . Người ta dựng một hình chữ nhật

$MNPQ$ có cạnh

$MN$ nằm trên cạnh

$BC$ , hai đỉnh

$P,Q$ theo thứ tự nằm trên hai cạnh

$AC,AB$ của tam giác. Xác định vị trí của điểm

$M$ sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

score 0 · Answer 1

Đặt

$BM=x$ , điều kiện

$0\leq x\leq \frac{a}{2}$ , suy ra:

$MN=a-2x; MQ=BM.\tan\widehat{B}=x.\tan 60^0=x\sqrt{3}.$
Từ đó:

$S_{MNPQ}=MN.PQ=x\sqrt{3}(a-2x)=-2x^2\sqrt{3}+ax\sqrt{3}$ .
Ta xét hàm số:

$y=-2x^2\sqrt{3}+ax\sqrt{3}$ trên đoạn

$[0,\frac{a}{2}]$
Đạo hàm:

$y^'=-4x\sqrt{3}+a\sqrt{3}, y^'=0\Leftrightarrow -4x\sqrt{3}+a\sqrt{3}=0\Leftrightarrow x=\frac{a}{4}$ .
Ta có:

$y(0)=0, y(\frac{a}{2})=0, y(\frac{a}{4})=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}$ .
Vậy , ta nhận được :

$\max y=\max (0,\frac{a^2\sqrt{3}}{8})=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}$ đạt được khi

$x=\frac{a}{4}$

1 Đáp án