Bài 105792

Question

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:
$y=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}$

score 0 · Answer 1

Điều kiện:   $\begin{cases}3+x\geq 0 \\ 6-x\geq0 \end{cases}\Leftrightarrow -3 \leq x\leq 6$.
Vậy, tập xác định của hàm số là $D=[-3,6]$
Tìm điều kiện để phương trình:
    $\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}=y           (1)$ có nghiệm thuộc $D$.
Nhận xét rằng:
    $(\sqrt{3+x})^2+(\sqrt{6-x})^2=9,$
Nên đặt:   $\begin{cases}\sqrt{3+x}=3\cos t \\ \sqrt{6-x}=3\sin t \end{cases}$ với $t\in [0,\frac{\pi}{2}]         (*)$
Khi đó phương trình có dạng:
    $3(\cos t +\sin t)=y\Leftrightarrow \sin (t+\frac{\pi}{4})=\frac{y}{3\sqrt{2}}$.
Để phương trình có nghiệm thoả mãn $(*)$:
    $\frac{\sqrt{2}}{2}\leq \frac{y}{3\sqrt{2}}\leq 1\Leftrightarrow 3\leq y\leq 3\sqrt{2}$.
Vậy, ta nhận được:
-$\min y=3$ đạt được khi:
         $\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}=3\Leftrightarrow \sqrt{(3+x)(6-x)}=0\Leftrightarrow x=-3$ hoặc $x=6$.
-$\max y=3\sqrt{2}$ đạt được khi:
        $\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}=3\sqrt{2}\Leftrightarrow 2\sqrt{(3+x)(6-x)}=9$
        $4x^2-12x+9=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$.
Cách $2$:
Có: $y>0$ và $y^2=9+2\sqrt{3+x}\sqrt{6-x}\geq 9$
$\Rightarrow \min y=3$ khi $x=-3$ hoăc $x=6$
$y=1.\sqrt{3+x}+1.\sqrt{6-x}\leq \sqrt{2.(3+x+6-x)}=3\sqrt{2}$
Vậy $\max y=3\sqrt{2}$ khi và chỉ khi $\sqrt{3+x}=\sqrt{6-x}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$

Bài 105792

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105792

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan