Bài 105736

Question

Cho hàm số $y = (x - m)(x - n)(x - p)$ (*)
Tìm tất cả các điểm trên đồ thị của hàm số (*) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 3:55:08 PM

Để viết cho gọn ta đặt $m + n + p = \alpha ,{\rm{ mn}} + np + mp = \beta ,{\rm{ mnp}} = \gamma $, ta có
    $y = {x^3} - \alpha {x^2} + \beta x - \gamma ,{\rm{ y'}} = 3x - 2\alpha x + \beta $.
Gọi $M({x_o},{y_o})$, trong đó ${y_o} = x_o^3 - \alpha x_o^2 + \beta {x_o} - \gamma $ là một điểm thuộc đồ thị hàm số; khi đó phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M có dạng
    ${y_x} - {y_o} = y'({x_o})(x - {x_o})$ hay ${y_x} = y'({x_o})(x - {x_o}) + {y_o}$.
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến ấy và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình
    $y = {y_x} \Leftrightarrow y'({x_o})(x - {x_o}) + {y_o}$
$ \Leftrightarrow y - {y_o} - y'({x_o})(x - {x_o}) = 0$                            $(1)$

Để ý rằng ${x_o}$ là nghiệm kép của $(1)$, sau khi thế biểu thức của $y,{\rm{ }}{{\rm{y}}_o},{\rm{ y'(}}{{\rm{x}}_o})$ vào $(1)$ và thực hiện phép chia vế trái của (1) cho ${(x - {x_o})^2}$ ta được:
    ${(x - {x_o})^2}\left[ {x - (\alpha - 2{x_o})} \right] = 0$
a) ${x_o} \ne \alpha - 2{x_o} \Leftrightarrow {x_o} \ne \alpha /3$ tiếp tuyến với đồ thị tại $M$ cắt đồ thị tại điểm thứ hai có hoành độ ${x_1} = \alpha - 2{x_o} \ne {x_o}$, suy ra có tiếp tuyến thứ hai với đồ thị tại điểm có hoành độ ${x_1}$.
b) ${x_o} = \alpha - 2{x_o} \Leftrightarrow {x_o} = \alpha /3$ tiếp tuyến với đồ thị tại $M$ không cắt đồ thị tại điểm thứ hai. Vậy đồ thị chỉ có một điểm thỏa mãn đầu bài có hoành độ
    ${x_o} = \frac{\alpha }{3} = \frac{{m + n + p}}{3}{\rm{ (}}{{\rm{y}}_o} = x_o^3 - \alpha x_o^2 + \beta {x_o} - \gamma )$
( đó chính là điểm uốn của đồ thị)

Bài 105736

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105736

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan