Bài 105633

Question

Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $f(x) = | 1 + 2cos x| + | 1 + 2sin x|$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 9:55:45 AM

Hàm $f = \left| {1 + 2\cos x} \right| + \left| {1 + 2\sin x} \right|$ xác định và $ > 0$ với mọi $x$.
Do đó ta xét
${f^2} = {(1 + 2\cos x)^2} + {(1 + 2\sin x)^2} + 2\left| {(1 + c{\rm{osx}})(1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})} \right|$
      $ = 6 + 4(c{\rm{osx + sinx}}) + 2\left| {4\sin x\cos x + 2(c{\rm{osx + sinx}}) + 1)} \right|$
Do $2cos xsin x = {(c{\rm{osx + sinx}})^2} - 1 = 2{\sin ^2}(x + \pi /4) - 1$ nên
${f^2} = 6 + 4\sqrt 2 \sin \left( {x + \pi /4} \right) + 2\left| {4{{\sin }^2}\left( {x + \pi /4} \right) + 2\sqrt 2 \sin \left( {x + \pi /4} \right) - 1} \right|$    $(1)$

a)    ${f^2} = 6 + 4\sqrt 2 \sin \left( {x + \pi /4} \right) + $$2\left| {2{{\sin }^2}\left( {x + \pi /4} \right) + 2\sqrt 2 \sin \left( {x + \pi /4} \right) - c{\rm{os2}}\left( {x + \pi /4} \right)} \right| $
$ \le 6 + 4\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \pi /4} \right)} \right| + $$2\left[ {2{{\sin }^2}\left( {x + \pi /4} \right) + 2\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \pi /4} \right)} \right| + \left| {c{\rm{os2}}\left( {x + \pi /4} \right)} \right|} \right]$
$ \le 6 + 4\sqrt 2 + 2\left( {2 + 2\sqrt 2 + 1} \right) = 12 + 8\sqrt 2 $,
Dấu = đạt được khi $x + \pi /4 = \pi /2 + 2k\pi \Leftrightarrow x = \pi /4 + 2k\pi $.
Suy ra $m{\rm{axf = }}\sqrt {{\rm{max}}{{\rm{f}}^{\rm{2}}}} = \sqrt {12 + 8\sqrt 2 } = 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)$.

b)    Đặt $t = \sin \left( {x + \pi /4} \right),\left| t \right| \le 1$, khi đó $(1)$ trở thành:
${f^2} = 6 + 4\sqrt 2 t + 2\left| {4{t^2} + 2\sqrt 2 t - 1} \right|,\left| t \right| \le 1$
Do $4{t^2} + 2\sqrt 2 t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \left( { - \sqrt 2 \pm \sqrt 6 } \right)/4 \in \left[ { - 1;1} \right]$ nên
${f^2} = \left\{ \begin{array}{l}
4{\left( {\sqrt 2 t + 1} \right)^2}nếu -1 \le {\rm{t}} \le \left( { - \sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)/4,\left( { - \sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)/4 \le t \le 1\\
- 8{t^2} + 8 nếu -\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)/4 \le t \le \left( { - \sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)/4
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \min f = \sqrt {\min {f^2}}\\
= \min \left\{ {\sqrt {4{{\left[ {\sqrt 2 .\left( { - \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}} \right) + 1} \right]}^2}} ;\sqrt { - 8{{\left( { - \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}} \right)}^2} + 8} } \right\}\\
= \sqrt 3 - 1
\end{array}$

Bài 105633

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105633

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan