Bài 105588

Question

1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$f = {(x + y)^4} + {(x + z)^4} + {(x + t)^4} + {(y + z)^4} + {(y + t)^4} + {(z + t)^4}$
Biết rằng ${x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} \le 1$.
2) Với $a$ là tham số, hãy xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số
$y = {x^4} - 6a{x^2} + {a^2}$ trên đoạn $[1;2]$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 5:03:34 PM

$1)$ $f = {(x + y)^4} + {(x + z)^4} + {(x + t)^4} + {(y + z)^4} + {(y + t)^4} + {(z + t)^4} $
$\begin{array}{l}
      \le {(x + y)^4} + {(x + z)^4} + {(x + t)^4} + {(y + z)^4} + {(y + t)^4} + {(z + t)^4} \\
+ {(x - y)^4} + {(x - z)^4} + {(x - t)^4} + {(y - z)^4} + {(y - t)^4} + {(z - t)^4} = \\
     = 6{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2}} \right)^2} \le 6
\end{array}$
Vậy $\max f = 6$, đạt được khi $x = y = z = t = \pm 1/2$.

$2)$ Đặt $t = {x^2}$, hàm số đã cho trở thành
    $u(t) = {t^2} - 6at + {a^2}$ trên đoạn ${\rm{[}}1{\rm{ ; 4]}}$            $(1)$
Gọi ${t_o}$ là hoành độ đỉnh của parabol $(1)$ ta có ${t_o} = \frac{{6a}}{2} = 3a$. Khi đó ta có:
Với $3a \le 1{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{a}} \le \frac{1}{3}$:
        $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;{\rm{ }}2} \right]} = \mathop {\min u(t)}\limits_{\left[ {1;{\rm{ 4}}} \right]} = u(1) = 1 - 6a + {a^2}$;
Với $3a \ge 4 \Leftrightarrow a \ge \frac{4}{3}$;
        $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;{\rm{ }}2} \right]} = \mathop {\min u(t)}\limits_{\left[ {1;{\rm{ 4}}} \right]} = u(4) = 16 - 24a + {a^2}$
Với $1 < a < \frac{4}{3}$:
        $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;{\rm{ }}2} \right]} = \mathop {\min u(t)}\limits_{\left[ {1;{\rm{ 4}}} \right]} = u({t_o}) = u(3a) = 9{a^2} - 6a.3a + {a^2} = - 8{a^2}$

Bài 105588

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105588

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan