Bài 105588

Question

1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$f = {(x + y)^4} + {(x + z)^4} + {(x + t)^4} + {(y + z)^4} + {(y + t)^4} + {(z + t)^4}$
Biết rằng

${x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} \le 1$ .
2) Với

$a$ là tham số, hãy xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số

$y = {x^4} - 6a{x^2} + {a^2}$ trên đoạn

$[1;2]$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 5:03:34 PM

$1)$

$f = {(x + y)^4} + {(x + z)^4} + {(x + t)^4} + {(y + z)^4} + {(y + t)^4} + {(z + t)^4}$

$\begin{array}{l} \le {(x + y)^4} + {(x + z)^4} + {(x + t)^4} + {(y + z)^4} + {(y + t)^4} + {(z + t)^4} \\ + {(x - y)^4} + {(x - z)^4} + {(x - t)^4} + {(y - z)^4} + {(y - t)^4} + {(z - t)^4} = \\ = 6{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2}} \right)^2} \le 6 \end{array}$
Vậy

$\max f = 6$ , đạt được khi

$x = y = z = t = \pm 1/2$ .

$2)$ Đặt

$t = {x^2}$ , hàm số đã cho trở thành

$u(t) = {t^2} - 6at + {a^2}$ trên đoạn

${\rm{[}}1{\rm{ ; 4]}}$

$(1)$
Gọi

${t_o}$ là hoành độ đỉnh của parabol

$(1)$ ta có

${t_o} = \frac{{6a}}{2} = 3a$ . Khi đó ta có:
Với

$3a \le 1{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{a}} \le \frac{1}{3}$ :

$\mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;{\rm{ }}2} \right]} = \mathop {\min u(t)}\limits_{\left[ {1;{\rm{ 4}}} \right]} = u(1) = 1 - 6a + {a^2}$ ;
Với

$3a \ge 4 \Leftrightarrow a \ge \frac{4}{3}$ ;

$\mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;{\rm{ }}2} \right]} = \mathop {\min u(t)}\limits_{\left[ {1;{\rm{ 4}}} \right]} = u(4) = 16 - 24a + {a^2}$
Với

$1 < a < \frac{4}{3}$ :

$\mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;{\rm{ }}2} \right]} = \mathop {\min u(t)}\limits_{\left[ {1;{\rm{ 4}}} \right]} = u({t_o}) = u(3a) = 9{a^2} - 6a.3a + {a^2} = - 8{a^2}$

Bài 105588

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105588

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan