Bài 105581

Question

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} + xy + 4{y^2}}}$
Trong đó

$x, y$ là các số thực tùy ý không đồng thời bằng không.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 4:47:34 PM

Dễ nhận thấy rằng

$A$ luôn xác định với

$\forall x,y \in R$ không đồng thời bằng

$0$ .
a) Xét

$x = 0$ , khi đó

$A = \frac{{{y^2}}}{{4{y^2}}} = \frac{1}{4} \left( {\forall y \in R,{\rm{ y}} \ne {\rm{0}}} \right)$
b) Xét

$x \ne 0$ , chia cả tử và mẫu của

$A$ cho

${x^2}$ ta được:

$A = \frac{{1 + {{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}}}{{1 + \frac{y}{x} + 4{{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}}}$

$(1)$
Đặt

$t = \frac{y}{x}$ , khi đó

$(1)$ trở thành

$A = \frac{{1 + {t^2}}}{{1 + t + 4{t^2}}}$ (xác định với

$\forall t \in R$ )

$\Leftrightarrow A(1 + t + 4{t^2}) = 1 + {t^2} {\rm{ (}}\forall {\rm{t}} \in R)$

$\Leftrightarrow (4A - 1){t^2} + At + A - 1 = 0 {\rm{ (}}\forall t \in R)$

$(2)$
•

$4A - 1 = 0 \Leftrightarrow A = \frac{1}{4}$ :

$(2)$ trở thành

$\frac{t}{4} + \frac{1}{4} - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 3$
•

$4A - 1 \ne 0$ : Để

$(2)$ có nghiệm ta cần có

$\Delta = {A^2} - 4(4A - 1)(A - 1) = - 15{A^2} + 2A - 4 \ge 0$

$\Leftrightarrow \frac{{10 - 2\sqrt {10} }}{{15}} \le A \le \frac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{15}}$
Dễ nhận thấy rằng

$\frac{{10 - 2\sqrt {10} }}{{15}} < \frac{1}{4}$
Nên

$\min A = \frac{{10 - 2\sqrt {10} }}{{15}},{\rm{ }}\max A = \frac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{15}}$

1 Đáp án