Bài 105552

Question

Cho hàm số: $y = {x^3} - (m + 1){x^2} - (2{m^2} - 3m + 2)x + 2m(2m - 1)$
1) Tìm các điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi $m$. Từ kết quả đó, hãy xác định $m$ để đồ thị của hàm số tiếp xúc với $Ox$.
2) Tìm $m$ để hàm số là đồng biến khi $x \ge 2$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 3:36:08 PM

$1)$ Gọi $({x_o},{y_o})$ là điểm cố định của hàm số, ta có
    ${y_o} = x_o^3 - (m + 1)x_o^2 - (2{m^2} - 3m + 2){x_o} + 2m(2m - 1){\rm{ , }}\forall {\rm{m}}$    $(1)$
trong đó $m$ là tham số. Đạo hàm hai vế của (1) theo $m$ ta có
    $0 = - x_o^2 - (4m - 3){x_o} + 8m - 2$           $ (2)$
Lại đạo hàm hai vế của $(2)$ theo $m$ ta được
    $0 = - 4{x_o} + 8{\rm{ }} \Rightarrow {{\rm{x}}_o} = 2$
Thế ${{\rm{x}}_o} = 2$ vào (1) ta được ${y_o} = 0$
Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định $(2,{\rm{ 0)}}$ với mọi $m$.

Từ đó thực hiện phép chia biểu thức của y cho $(x - 2)$ ta có:
$\begin{array}{l}
y = (x - 2)\left[ {{x^2} - (m - 1)x - m(2m - 1)} \right] \\
= (x - 2)(x + m)(x - 2m + 1)
\end{array}$
Vậy đồ thị tiếp xúc với trục hoành khi:
a)        $2 = - m \Rightarrow m = - 2;$
b)        $2 = 2m - 1{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{m}} = 3/2$;
c)        $ - m = 2m - 1{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{m}} = 1/{\rm{3}}$

$2)$ Ta có:
$y' = 3{x^2} - 2(m + 1)x - (2{m^2} - 3m + 2)$
$\Delta ' = {(m + 1)^2} + 3(2{m^2} - 3m + 2) = 7({m^2} - m + 1) > 0$,
Do đó để $y$ đồng biến khi $x \ge 2$ ta cần có $y' \ge 0$ khi $x \ge 2$, tức là cần có
    $\left\{ \begin{array}{l}
y'(2) \ge 0\\
S/2 < 2
\end{array} \right.{\rm{           }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{m^2} + m - 6 \le 0\\
(m + 1)/3 < 2
\end{array} \right.{\rm{   }} \Leftrightarrow - 2 \le m \le 3/2$

Bài 105552

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105552

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan