Bài 105512

Question

Chứng minh các bất đẳng thức:
a/

$\frac{ ab}{a+b}+ \frac{ bc}{b+c}+\frac{ ca}{c+a} \leq \frac{ a+b+c}{2}$ đúng

$\forall a>0, b>0, c>0$
b/

$\frac{ a}{a+b}+ \frac{ b}{b+c}+ \frac{ c}{c+a} < \sqrt{ \frac{ a}{b+c}}+ \sqrt{ \frac{ b}{c+a}}+ \sqrt{ \frac{ c}{a+b}}$ đúng

$\forall a>0, b>0, c>0$
c/

$\forall a>0, b>0: \left(\frac{ 1}{a} \right)^{3} + \left( \frac{ a}{b} \right)^{3} + b^{3} \geq \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b$
d/

$\forall x>0, y>0, z>0:$

$\frac{ 2 \sqrt{ x}}{x^{3}+ y^{2}}+ \frac{ 2 \sqrt{ y}}{y^{3}+z^{2}}+\frac{ 2 \sqrt{ z}}{z^{3}+x^{2}} \leq \frac{ 1}{ x^{2} }+ \frac{ 1}{y^{2}}+ \frac{ 1}{z^{2}}$

score 1 · Answer 1

a/ Xuất phát từ :

$\left( a+b \right)^{2} \geq 4ab \Leftrightarrow \frac{ ab}{a+b} \leq \frac{ a+b}{4}$
Tương tự

$\frac{ bc}{b+c} \leq \frac{ b+c}{4}; \frac{ ac}{a+c} \leq \frac{ a+c}{4}$
Cộng từng vế

$\frac{ ab}{a+b}+ \frac{ bc}{b+c}+\frac{ ca}{c+a} \leq \frac{ a+b+c}{2}$

b/ Với

$a>0; b>0; c>0: \frac{ a}{a+b} < \frac{ a+c}{a+b+c}$
Vì

$\frac{ a}{a+b} – \frac{ a+c}{a+b+c}= \frac{ a^{2} +ab +ac – a^{2} –ab –ac -bc}{\left( a+b \right) \left( a+b+c\right) }= \frac{ -bc}{\left( a+b \right) \left( a+b+c\right) }<0$
Tương tự

$\frac{ b}{b+c}< \frac{ a+b}{a+b+c}; \frac{ c}{a+c}< \frac{ b+c}{a+b+c}$
Cộng từng vế:

$\frac{ a}{a+b}+ \frac{ b}{b+c}+ \frac{ c}{c+a} < \frac{ 2 \left(a+b+c \right) }{a+b+c}=2$

$(1)$
Bất đẳng thức Cosi áp dụng cho

$a$ và

$b+c$

$a+ \left( b+c \right) \geq 2 \sqrt{ a \left( b+c \right) } \Leftrightarrow \frac{ 1}{ \sqrt{ a \left( b+c \right) }} \geq \frac{ 2}{\sqrt{a+b+c}}$

$\sqrt{ \frac{ s}{b+c}}= \frac{ a}{ \sqrt{ a \left( b+c \right) }} \geq \frac{ 2}{a+b+c}$
Tương tự

$\sqrt{ \frac{ b}{c+a}}lon \frac{ 2b}{a+b+c}; \sqrt{ \frac{ c}{a+b}} \geq \frac{ 2c}{a+b+c}$
Cộng từng vế

$\sqrt{ \frac{ a}{b+c}}+ \sqrt{ \frac{ b}{c+a}}+ \sqrt{ \frac{ c}{a+b}} \geq \frac{ 2 \left( a+b+c \right) }{a+b+c}=2$

$\frac{ a}{a+b}+ \frac{ b}{b+c}+ \frac{ c}{c+a} <2$

$\sqrt{ \frac{ a}{b+c}}+ \sqrt{ \frac{ b}{c+a}}+ \sqrt{ \frac{ c}{a+b}} \geq 2$

$\Rightarrow$ Đpcm.

c/

$\left(\frac{ 1}{a} \right)^{3} + \left( \frac{ a}{b} \right)^{3} + b^{3} \geq \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương:

$\left( \frac{ 1}{a} \right)^{3}+1+1 \geq 3 \sqrt[ 3]{ \frac{ 1}{a^{3}}}=3.\frac{ 1}{3}; \left( \frac{ a}{b} \right)^{3} +1+1 \geq 3 \sqrt[3]{ \left( \frac{ a}{b} \right)^{2} }=3. \frac{ a}{b}$

$b^{3}+1+1 \geq 3 \sqrt[3]{b^{3}} =3b$

$\Rightarrow \left(\frac{ 1}{a} \right)^{3} + \left( \frac{ a}{b} \right)^{3} + b^{3} +6 \geq 3 \left( \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+ b \right) = \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b+2 \left(\frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b \right)$
Nhưng

$2 \left( \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b \right) \geq 2. 3 \sqrt[3]{ \frac{ 1}{a}. \frac{ a}{b}.b} =6$

$\Rightarrow \left(\frac{ 1}{a} \right)^{3} + \left( \frac{ a}{b} \right)^{3} + b^{3}+b \geq \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b + 2 \left(\frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b \right) \geq \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b +6$

$\Leftrightarrow \left( - \frac{ 1}{a} \right)^{2} + \left(\frac{ a}{b} \right)^{2} +b^{3} \geq \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b$

Có đẳng thức khi

$a=b=1$
d/ Áp dụng bất đẳng thức Cosi:

$x^{2} +y^{2} \geq 2 \sqrt{ x^{2} y^{2}}= 2xy \sqrt{ x} \Leftrightarrow \frac{ 2 \sqrt{ x}}{x^{3}+y^{2}} \leq \frac{ 1}{xy}$
Tương tự:

$\frac{ 2 \sqrt{ y}}{y^{3}+z^{2}} \leq \frac{ 1}{yz}; \frac{ 2 \sqrt{ z}}{y^{3}+x^{2}} \leq \frac{ 1}{zx}$
Cộng từng vế:

$\frac{ 2 \sqrt{ x}}{x^{3}+y^{2}} \leq \frac{ 1}{xy}+\frac{ 2 \sqrt{ y}}{y^{3}+z^{2}} +\frac{ 2 \sqrt{ z}}{y^{3}+x^{2}} \leq \frac{ 1}{xy}+\frac{ 1}{yz}+\frac{ 1}{zx}$
Nhưng

$\begin{cases} \frac{ 1}{xy} \leq \frac{ 1}{2} \left( \frac{ 1}{ x^{2} }+ \frac{ 1}{y^{2}} \right) \\ \frac{ 1}{yz} \leq \frac{ 1}{2} \left( \frac{ 1}{y^{2}} + \frac{ 1}{z^{2}} \right) \\ \frac{ y}{ z^{2}} \leq \frac{ 1}{2} \left( \frac{ 1}{z^{2}} \frac{ 1}{ x^{2} } \right) \end{cases} \Rightarrow \frac{ 1}{xy}+\frac{ 1}{yz}+\frac{ 1}{zx} \leq \frac{ 1}{ x^{2} }+ \frac{ 1}{y^{2}}+ \frac{ 1}{z^{2}}$ đpcm

Bài 105512

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105512

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan