|
|
$1)$ Viết lại hàm số $(1)$ dưới dạng:
$y = 3m + 1 - \frac{{4{m^2}}}{{x + m}}$.
Để hàm số không suy biến thành đường thẳng cần có $m \ne 0$.
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm ${x_o}$ của phương trình:
$\frac{{(3m + 1)x - {m^2} + m}}{{x + m}} = 0 \Leftrightarrow {x_o} = \frac{{{m^2} - m}}{{3m + 1}},{\rm{ m}} \ne {\rm{0, m}} \ne \frac{1}{3}$.
Ta có $y' = 4{m^2}/{(x + m)^2}$, do đó tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ ${x_o}$, sẽ có hệ số góc $y'({x_o}) = \frac{{4{m^2}}}{{{{({x_o} + m)}^2}}}$.
Do tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $y + 10 = x$ nên:
$\frac{{4{m^2}}}{{\left( {\frac{{{m^2} - m}}{{3m + 1}} + m} \right)}} = 1,{\rm{ m}} \ne {\rm{0, m}} \ne - \frac{1}{3}$
Giải ra ta được $m = - 1,{\rm{ m}} = - 1/5$.
Từ đó có : với $m = - 1$, thì ${x_o} = - 1$, với $m = - 1/5$ thì ${x_o} = 3/5$.
Ứng với chúng có hai tiếp tuyến là $y = x + 1,{\rm{ y}} = x - 3/5.$
$2)$ Cần xác định $a, b$ để đường thẳng $y = {\rm{ax}} + b$ tiếp xúc với đường cong (1) với mọi $m$.
Khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm kép của phương trình:
$(3m + 1) - \frac{{4{m^2}}}{{x + m}} = {\rm{ax}} + b = a(x + m) + (b - am),{\rm{ }}\forall {\rm{m}}$
$ \Leftrightarrow a{t^2} + \left[ {(b - 1) - (a + 3)m} \right]t + 4{m^2} = 0,{\rm{ }}\forall {\rm{m}}$
Trong đó đặt $t = x + m,{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta = 0,{\rm{ }} \vee {\rm{m}}
\end{array} \right.$
Ta có $\Delta = {\left[ {(b - 1) - (a + 3)m} \right]^2} - 16a{m^2}$
$ = \left[ {{{(a + 3)}^2} - 16a} \right]{m^2} - 2(b - 1)(a + 3)m + {(b - 1)^2} = 0,{\rm{ }}\forall {\rm{m}}$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{(a + 3)^2} - 16a = 0\\
{(b - 1)^2} = 0\\
(b - 1)(a + 3) = 0
\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1,{\rm{ a = 9}}\\
{\rm{b}} = 1
\end{array} \right.$
Vậy hai đường thẳng cố định tiếp xúc với $(1)$ có phương trình $y = x + 1,{\rm{ y}} = 9x + 1$.
$3)$ Lấy điểm $(1,{y_o})$ tùy ý thuộc đường thẳng $x = 1$.
Để không có đường nào của $(1)$ đo qua $(1,{y_o})$ thì phương trình: ${y_o} = \frac{{(3m + 1) - {m^2} + m}}{{1 + m}}$ vô nghiệm đối với $m$.
với điều kiện $m \ne - 1$ phương trình đó tương đương với:
${m^2} + ({y_o} - 4)m + {y_o} - 1 = 0$ vô nghiệm đối với $m \ne - 1$.
$ \Leftrightarrow \Delta = {({y_o} - 4)^2} - 4({y_o} - 1) < 0 \Leftrightarrow y_o^2 - 12{y_o} + 20 < 0$
$ \Leftrightarrow 2 < {y_o} < 10$.
Với $m = - 1$ ta có $y = - 2(x + 1)/(x - 1)$ nhận $x = 1$ là tiệm cận đứng $ \Rightarrow $ đồ thị của nó không cắt đường thẳng $x = 1$
Vậy ta có đáp số: các điểm trên đường thẳng $x = 1$ có tung độ $2 < {y_o} < 10$
|
|
|
Đăng bài 24-05-12 10:38 AM
|
|