|
|
1) Viết lại hàm số (1) dưới dạng:
y=3m+1−4m2x+m.
Để hàm số không suy biến thành đường thẳng cần có m≠0.
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm xo của phương trình:
(3m+1)x−m2+mx+m=0⇔xo=m2−m3m+1,m≠0,m≠13.
Ta có y′=4m2/(x+m)2, do đó tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ xo, sẽ có hệ số góc y′(xo)=4m2(xo+m)2.
Do tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y+10=x nên:
4m2(m2−m3m+1+m)=1,m≠0,m≠−13
Giải ra ta được m=−1,m=−1/5.
Từ đó có : với m=−1, thì xo=−1, với m=−1/5 thì xo=3/5.
Ứng với chúng có hai tiếp tuyến là y=x+1,y=x−3/5.
2) Cần xác định a,b để đường thẳng y=ax+b tiếp xúc với đường cong (1) với mọi m.
Khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm kép của phương trình:
(3m+1)−4m2x+m=ax+b=a(x+m)+(b−am),∀m
⇔at2+[(b−1)−(a+3)m]t+4m2=0,∀m
Trong đó đặt t=x+m,⇔{a≠0Δ=0,∨m
Ta có Δ=[(b−1)−(a+3)m]2−16am2
=[(a+3)2−16a]m2−2(b−1)(a+3)m+(b−1)2=0,∀m
⇔{(a+3)2−16a=0(b−1)2=0(b−1)(a+3)=0⇔{a=1,a=9b=1
Vậy hai đường thẳng cố định tiếp xúc với (1) có phương trình y=x+1,y=9x+1.
3) Lấy điểm (1,yo) tùy ý thuộc đường thẳng x=1.
Để không có đường nào của (1) đo qua (1,yo) thì phương trình: yo=(3m+1)−m2+m1+m vô nghiệm đối với m.
với điều kiện m≠−1 phương trình đó tương đương với:
m2+(yo−4)m+yo−1=0 vô nghiệm đối với m≠−1.
⇔Δ=(yo−4)2−4(yo−1)<0⇔y2o−12yo+20<0
⇔2<yo<10.
Với m=−1 ta có y=−2(x+1)/(x−1) nhận x=1 là tiệm cận đứng ⇒ đồ thị của nó không cắt đường thẳng x=1
Vậy ta có đáp số: các điểm trên đường thẳng x=1 có tung độ 2<yo<10
|
|
|
Đăng bài 24-05-12 10:38 AM
|
|