Bài 105428

Question

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=x(1-2x)$ với $0\leq x \leq \frac{1}{2}$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B=3x+\frac{1}{x-2} (x>2)$
c) Với $0\leq x \leq 3, 0\leq x \leq 1$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$C=(3-x)(1-y)(4x+7y)$

score 0 · Answer 1

Giải
a) Ta có $A=\frac{1}{2}.2x(1-2x)$. Với $0\leq x \leq \frac{1}{2}$ thì các số $2x$ và $1-2x$ là không âm. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
$A=\frac{1}{2}.2x(1-2x) \leq \frac{1}{2}(\frac{2x+1-2x}{2})^2=\frac{1}{8}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow 2x=1 \Leftrightarrow x=\frac{1}{4} \in [0;\frac{1}{2}]$. Vậy $\max A=\frac{1}{8}$
b) Ta có $B=6+3x-6+\frac{3}{3x-6}$
Với $x>2$ thì $3x-6>0$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
   $B=6+3x-6+\frac{3}{3x-6}\geq 6+2\sqrt{(3x-6).\frac{3}{3x-6}}=6+2\sqrt{3}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow 3x-6=\frac{3}{3x-6}$
    $\Leftrightarrow x=2+\frac{\sqrt{3}}{3}$ (do $x=2-\frac{\sqrt{3}}{3}<2$ loại)
Vậy $\min B=4+2\sqrt{3}$
c) Ta có: $C=\frac{1}{28}.(12-4x)(7-7y)(4x+7y)$
Với $0\leq x \leq 3, 0\leq y \leq 1$ thì $12-4x \geq 0, 7-7y\geq 0, 4x+7y\geq 0$, do đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
        $C=\frac{1}{28}.(12-4x)(7-7y)(4x+7y) \leq \frac{1}{28}(\frac{12-4x+7-7y+4x+7y}{3})^2$
            $=\frac{6859}{28}$
Ta có: $12-4x=7-7y=4x+7y \Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{17}{12} \in [0;3] \\ y=\frac{2}{21} \in [0;1] \end{cases}$
    Vậy $\max C=\frac{6859}{28}$

Bài 105428

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105428

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan