Bài 105375

Question

Cho 3 số dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Giải
Đặt: $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$, ta có: $xyz=1$ và $P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta chứng minh: $P \geq \frac{1}{2}(x+y+z)\geq \frac{3}{2}$
Thật vậy : $\frac{x^2}{y+z}+\frac{ (z+y) }{4}+ \frac{y^2}{x+z}+\frac{ (x+z) }{4}+\frac{z^2}{x+y}+\frac{ (x+y) }{4}\geq x+y+z$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow (x+y)^{2}= 4z^{2} và (x+z)^{2}= 4y^{2}, (z+y)^{2}= 4x^{2} $ $\Leftrightarrow x=y=z$ (do x,y,z dương)
Suy ra: $\min P=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$

Bài 105375

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105375

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan