Bài 105325

Question

Tùy theo giá trị của tham số

$m$ hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

$t=\sin^4 x+\cos^4 x+m\sin x\cos x$

score 0 · Answer 1

Giải
Ta biến đổi:

$y=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x+m\sin x.\cos x$

$=1-\frac{1}{2}\sin^2 2x+\frac{m}{2}\sin 2x$
Đặt

$t=\sin 2x: |t| \leq 1$
Ta tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức

$f(t)=-\frac{1}{2}t^2+\frac{m}{2}t+1$ trên đoạn

$[-1;1]$
Parabol có bề quay xuống (

$a=\frac{-1}{2}<0$ ) và có hoành độ đỉnh

$t_0=\frac{m}{2}$
i) Với

$|\frac{m}{2}|\leq 1$ hay

$|m|\leq 2$ thì

$t_0\in[-1;1]$
Khi đó

$\max y=f(\frac{m}{2})=1+\frac{m^2}{8}$ và

$\min y=\min |f(-1),f(1)|$
So sánh

$f(-1)$ và

$f(1)$ ta có

$f(-1)=\frac{1-m}{2}; f(1)=\frac{1+m}{2}$ và

$f(1)-f(-1)=m$
Do đó:

$\min y=\begin{cases}\frac{1-m}{2} nếu m\geq 0 \\ \frac{1+m}{2} nếu m\leq 0 \end{cases}=\frac{1-|m|}{2}$
ii)

$|\frac{m}{2}>1$ hay

$|m|>2$ thì

$t_0 \notin [-1;1]$
Khi đó:

$\min y=\min|f(-1),f(1)|$ và

$\max y=\max |f(-1),f(1)|$
Từ

$f(1)-f(-1)=m$ suy ra:
* Với

$m>2$ thì

$\max y=f(1)=\frac{1+m}{2}; \min y=f(-1)-\frac{1-m}{2}$
* Với

$m<-2$ thì

$\max y=f(-1)=\frac{1-m}{2}; \min y=f(1)=\frac{1+m}{2}$
Vậy

$\min y=\frac{1-|m|}{2}; \max y=\begin{cases}\frac{1+|m|}{2} nếu |m|>2 \\ 1+\frac{m^2}{8} nếu |m| \leq 2\end{cases}$

1 Đáp án