Bài 105303

Question

Giải các bất phương trình sau:
a/ $\sqrt{ x+3}- \sqrt{ x-1}< \sqrt{ x-2}$
b/ $\sqrt{ 4- \sqrt{ 1-x}}- \sqrt{ 2-x}>0$
c/ $\sqrt{ x+ \sqrt{ x}} - \sqrt{ x- \sqrt{ x}}> \frac{ 3}{2}. \sqrt{ \frac{ x}{x+ \sqrt{ x}}}$
d/ $\sqrt{ 7x+7}+\sqrt{ 7x-6}+2 \sqrt{ 49 x^{2}+ 7x-42}<181-14x$

score 0 · Answer 1

a/ $\sqrt{ x+3}- \sqrt{ x-1}< \sqrt{ x-2}$
Điều kiện: $ x \geq 2$
$ \sqrt{ x+3}- \sqrt{ x-1}< \sqrt{ x-2}$
$ \Leftrightarrow \sqrt{ x+3}< \sqrt{ x-1}+ \sqrt{ x-2}$
$\Leftrightarrow x+3<x-1+x-2+2 \sqrt{ x^{2} -3x+2}$
$\Leftrightarrow 6-x< 2 \sqrt{ x^{2} -3x+2}$
Nếu $x \geq 6:$ bất phương trình luận nghiệm đúng.
Nếu $2 \leq x \leq 6: 36-12x+ x^{2} < 4 x^{2} -12x +8$
$\Leftrightarrow 3 x^{2} -28 >0 \Leftrightarrow x^{2} -\frac{ 28}{3}>0$
$\Leftrightarrow x<- \frac{ 2 \sqrt{ 21}}{3}$
hay $x> \frac{ 2 \sqrt{ 21}}{3}$
Giao với $2 \leq x <4 $
được $\frac{ 2 \sqrt{ 21}}{3}<x<4$
Hợp với $x \geq 4$ được $x> \frac{ 2}{3} \sqrt{ 21}$

b/ $\sqrt{ 4- \sqrt{ 1-x}}- \sqrt{ 2-x}>0(*)$
Điều kiện: $\begin{cases} 1-x \geq 0 \\ 4--\sqrt{ 1-x} \geq 0 \\ 2-x \geq 0    \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \leq 1 \\ 4 \geq \sqrt{ 1-x} \\ x \leq 2    \end{cases} \Leftrightarrow -15 \leq x \leq 1 $
$(*) \Leftrightarrow \sqrt{ 4- \sqrt{ 1-x}} \geq \sqrt{ 2-x}$
$\Leftrightarrow 4- \sqrt{ 1-x} > 2-x \Leftrightarrow x+2 > \sqrt{ 1-x}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq -2 \\ x^{2} +4x+x> 1-x    \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq -2 \\ x^{2} +5x+3>0   \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq -2 \\ x<\frac{ -5 - \sqrt{ 13}}{2}, x> \frac{ -5 + \sqrt{ 17}}{2}    \end{cases} $
$\Rightarrow $ nghiệm của bất phương trình : $\frac{ -5 + \sqrt{ 17}}{2}    <x \leq 1$

c/ $\sqrt{ x+ \sqrt{ x}} - \sqrt{ x- \sqrt{ x}}> \frac{ 3}{2}. \sqrt{ \frac{ x}{x+ \sqrt{ x}}}$
Điều kiện: $\begin{cases} x>0   \\ x- \sqrt{ x} \geq 0    \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}    x>0\\ x> \sqrt{ x}   \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x>0   \\ x^{2} –x \geq 0    \end{cases} \Leftrightarrow x \geq 1$
Với điều kiện trên, bất phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{ x}. \sqrt{ \sqrt{ x}+1}- \sqrt{ x}. \sqrt{ \sqrt{ x}-1}> \frac{ 3}{2} \sqrt{ \frac{ x}{ \left( \sqrt{ x}+1 \right) \sqrt{ x}}}$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{ x}. \sqrt{ \sqrt{ x}+1} \right) \frac{ \sqrt{ \sqrt{ x}+1}}{ \sqrt{ x}}-\sqrt{ x}. \sqrt{ \sqrt{ x}+1}.\frac{ \sqrt{ \sqrt{ x}+1}}{ \sqrt{ x}}> \frac{ 3}{2}.\frac{ \sqrt{ x}}{ \sqrt{ \sqrt{ x}+1}}.\frac{ \sqrt{ \sqrt{ x}+1}}{ \sqrt{ x}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{ x}+1- \sqrt{ x-1}> \frac{ 3}{2} \Leftrightarrow \sqrt{ x}> \sqrt{ x-1}+ \frac{ 1}{2}$
$\Leftrightarrow x>x-1+ \frac{ 1}{4}+ \sqrt{ x-1} \Leftrightarrow \sqrt{ x-1}< \frac{ 3}{4}$
$\Leftrightarrow x-1 < \frac{ 9}{16} \Leftrightarrow x< \frac{ 25}{16}$
Vậy nghiệm của bất phương trình là: $1 \leq x< \frac{ 25}{16} $

d/ $\sqrt{ 7x+7}+\sqrt{ 7x-6}+2 \sqrt{ 49 x^{2}+ 7x-42}<181-14x$
Điều kiện: $\begin{cases}7x+7 \geq 0 \\ 7x-6 \geq 0    \\ 49 x^{2} +7x -42 \geq 0    \end{cases} \Leftrightarrow x \geq \frac{ 6}{7}$
Bất phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{ 7x+7}+ \sqrt{ 7x-6}+2 \sqrt{ \left(7x+7 \right)\left( 7x-6   \right) }< 182 - \left( 7x+7 \right) -\left( 7x-6 \right) $
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{ 7x+7}+\sqrt{ 7x-6} \right)^{2} + \left(\sqrt{ 7x+7}+\sqrt{ 7x-6}   \right) -182<0$
Đặt: $\sqrt{ 7x+7}+\sqrt{ 7x-6}=U$ với $x \geq \frac{ 6}{7}$
$U’= \frac{ 7}{2 \sqrt{ 7x+7}}+ \frac{ 7}{2 \sqrt{ 7x-6}}>0$
$\Rightarrow U \geq \sqrt{ 13}$
$\Rightarrow U^{2}+U-182<0 \Leftrightarrow 14 <U<13$
Kết hợp với $U \geq 13: \sqrt{ 13} \leq U <13$
$\Rightarrow \sqrt{ 13} \leq \sqrt{ 7x+7}+ \sqrt{ 7x-6}<13$
Xét $\sqrt{ 7x+7}+ \sqrt{ 7x-6}<13$
Đặt $7x-6=t, t \geq 0$ được bất phương trình :
$\sqrt{ t+13}+ \sqrt{ t}<13$
$\Leftrightarrow t+13+t+2 \sqrt{ t^{2}+ 13 t}< 169$
$\Leftrightarrow 2 \sqrt{ t^{2}+13t}< 156-2t$
$\Leftrightarrow \sqrt{ t^{2}+13t}<78 –t (t \leq 78)$
$\Leftrightarrow t^{2}+13t <78^{2}-156+t^{2}$
$\Leftrightarrow 169t < 78^{2} \Leftrightarrow t <36$
$\Rightarrow 7x-6 <36 \Leftrightarrow x <6$
Vậy nghiệm của bất phương trình là : $\frac{ 6}{7} \leq x <6$

Bài 105303

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105303

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình vô tỉ

Lý thuyết liên quan