Bài 105137

Question

Cho

$\begin{cases}a,b,c>0 \\ abc+a+c=b \end{cases}$
Tìm GTLN của

$S=\frac{2}{a^2+1}-\frac{2}{b^2+1}+\frac{3}{c^2+1}$

score 0 · Answer 1

Giải
Ta có:

$abc+a+c=b \Rightarrow a+b=b(1-ac) \Rightarrow \frac{a+c}{1-ac}=b$
Đặt

$\begin{cases}a=\tan \alpha \\ c=\tan \beta \end{cases} (1)$
Suy ra

$b= \tan(\alpha+\beta) (2)$
Do

$a,b,c >0$ nên ta có:

$\begin{cases}\alpha,\beta >0 \\ \alpha+\beta<\frac{\pi}{2} \end{cases}$
Thay

$(1),(2)$ vào

$S$ ta được:

$S=2\cos^2 \alpha-2\cos^2(\alpha+\beta)+3cos^2 \beta$

$= \cos 2\alpha- \cos 2(\alpha+\beta)+3 \cos ^2 \beta$

$= -3 \sin^2 \beta +2\sin \beta.\sin(2\alpha+\beta)+3$

$= -3[\sin \beta- \frac{1}{3} \sin(2\alpha+\beta)]^2+\frac{1}{3} \sin^2(2\alpha +\beta)+3$

$= -3[\sin \beta- \frac{1}{3} \sin(2\alpha+\beta)]^2+\frac{1}{3} \cos^2(2\alpha +\beta)+\frac{10}{3} \leq \frac{10}{3}$

$S$ đạt giá trị lớn nhất

$\Leftrightarrow S=\frac{10}{3} \Leftrightarrow \begin{cases}\cos(2\alpha+\beta)=0 \\ \sin \beta= \frac{1}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2\alpha+\beta=\frac{\pi}{2} \\ \sin \beta=\frac{1}{3} \end{cases}$
Khi đó:

$\cos^2 \beta= \frac{8}{9} \Rightarrow 1+\tan^2 \beta =\frac{9}{8} \Rightarrow \tan^2 \beta= \frac{1}{8}$

$c=\tan \beta=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ ;

$2\alpha= \frac{\pi}{2}-\beta$

$\tan 2\alpha= \tan(\frac{\pi}{2}-\beta)= \cot \beta=2\sqrt{2} \Rightarrow \frac{2 \tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} = 2\sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{2a}{1-a^2}=2\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2}a^2+a-\sqrt{2}=0 \Rightarrow a= \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b=\frac{a+c}{1-ac} =\sqrt{2}$
Vậy GTLN của

$S$ là

$\frac{10}{9}$

Bài 105137

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105137

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan