Bài 105127

Question

Giải bất phương trình
$\sqrt{ 2 \left( x+2 \right) }- 2 \sqrt{ 2-x} > \frac{ 12x-8}{ \sqrt{ 9 x^{2} +16}}(*)$

score 0 · Answer 1

Điều kiện: $-2 \leq x \leq 2$
$12x-8 = 2 [2x+4 – 4 \left( 2-x   \right) ]$
$(*) \Leftrightarrow \left(\sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}- 2 \sqrt{ 2-x}   \right) > \frac{2 [ (\sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}+ 2 \sqrt{ 2-x}].[(\sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}- 2 \sqrt{ 2-x} ]}{ \sqrt{ 9 x^{2} +16}}$
$\Leftrightarrow \left(\sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}- 2 \sqrt{ 2-x}   \right) [1- \frac{ 2 \left(   x+2 \right)+2 \sqrt{ 2-x} }{ \sqrt{ 9 x^{2} +16}}$$>0$
$\Leftrightarrow \left(\sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}+ 2 \sqrt{ 2-x}   \right) \left(\sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}- 2 \sqrt{ 2-x}\right)[\left( \sqrt{ 9 x^{2} +16}-2 \sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}+2 \sqrt{ 2-x} \right)]$
$>0$
$\Leftrightarrow [ 2x+4-4 \left( 2-x   \right)]. [\left( \sqrt{ 9 x^{2} +16}-2 \sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}+2 \sqrt{ 2-x} \right)] [$
$\left( \sqrt{ 9 x^{2} +16}+2 \sqrt{ 2 \left(   x+2 \right)}+2 \sqrt{ 2-x} \right)]>0 $
$\Leftrightarrow \left( 6x-4   \right) [ 9 x^{2} +16-4 \left( 2x+4 +4 \left( 2-x   \right) + 4 \sqrt{ \left( 2x+4 \right)} \left( 2-x \right) \right)]>0 $
$\Leftrightarrow \left( 3x-2   \right) [ 9 x^{2} +8x-16 \left( 8-2 x^{2}    \right)+2]>0 $
$\Leftrightarrow \left( 3x-2   \right) [ x^{2} + 2x \sqrt{ 8-2 x^{2} }+8x – 2x \sqrt{ 8-2 x^{2} }-4 \left(   8-2 x^{2} \right)-16 \sqrt{ 8-2 x^{2} }]>0 $
$\Leftrightarrow \left( 3x-2   \right) [ x \left(x +2 \sqrt{ 8-2 x^{2} }+8    \right) -2 \sqrt{ 8-2 x^{2} }. X \left( x +2 \sqrt{ 8-2 x^{2} }+8      \right) >0$
$\Leftrightarrow \left( 3x-2   \right) \left(   x+8+2 \sqrt{ 8-2 x^{2} } \right) \left( x-2 \sqrt{ 8-2 x^{2} }   \right)>0 $
$\Leftrightarrow \left(3x-2    \right) \left( x- \sqrt{ 8-2 x^{2} } \right)>0 $
Xét dấu $( x- \sqrt{ 8-2 x^{2} } $ trên $[-2; 2]$
Nếu $x \in [-2; 0] \Rightarrow x- \sqrt{ 8-2 x^{2} } <0$
Nếu $x \in [0;2] \Rightarrow $ dấu của $ x- \sqrt{ 8-2 x^{2} } $ là dấu của tích
$\left(     x- \sqrt{ 8-2 x^{2} } \right) \left(x+\sqrt{ 8-2 x^{2} }    \right) = x^{2} -4 \left( 8-2 x^{2}    \right) =9 x^{2} -32 $
Tam thức này có dấu “-“ nếu $x \in [0; \frac{ 4 \sqrt{ 2}}{3}]$, có dấu “+” nếu $x \in [\frac{ 4 \sqrt{ 2}}{3}; 2]$
$\Rightarrow $ nghiệm của bất phương trình : $-2 \leq x < \frac{ 2}{3}; \frac{ 4 \sqrt{ 2}}{3}<x \leq 2$

Bài 105127

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105127

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình vô tỉ

Lý thuyết liên quan