Bài 105083

Question

Giải các bất phương trình sau:
a/ $\left( x+4 \right) \left( x+1 \right) \leq 5 \sqrt{ x^{2} +5x+28}$
b/ $\sqrt{ 5 x^{2} +10x+10} \geq 1 - x^{2} -2x$
c/ $2 x^{2} +4x+3 \sqrt{ 3- 2x - x^{2}}>1$
d/ $\sqrt{ x^{2} -x-2} + \sqrt{ x^{2} -2x -3} \geq 2 \sqrt{ x^{2} -3x -4}$

score 0 · Answer 1

a/ $\left( x+4 \right) \left( x+1 \right) \leq 5 \sqrt{ x^{2} +5x+28}$
$\Leftrightarrow x^{2} +5x+4 < 5 \sqrt{ x^{2} +5x +28}$
$\Leftrightarrow x^{2} +5x+4 \leq 5 \sqrt{ \left(   x^{2} +5x +24 \right) +24}$
Đặt $ x^{2} +5x +24=t, t \leq - \frac{ 9}{4}$, được bất phương trình trung gian:
$t \leq 5 \sqrt{ t+24} $
Nếu $t \geq 0 \Rightarrow t \leq 5 \sqrt{ t+24}$ luôn đúng.
Nếu $t \leq 0 \Rightarrow t \leq 5 \sqrt{ t+24}$
$\Leftrightarrow t^{2}\leq 25t+600 \Leftrightarrow -15 \leq t \leq 40$
Nhưng $t \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{ 9}{4} \leq x^{2} +5x +4<0$
Với $- \frac{ 9}{4} \leq t <0 $
$\Leftrightarrow \begin{cases}  \forall x \\ -4 <x<-1     \end{cases} \Leftrightarrow -4<x<-1 $
Với $\begin{cases} t \geq 0 \\   t \leq 40 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^{2} +5x +4 \geq 0 \\ x^{2} +5x +4 \leq 0 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \leq -4, x \geq -1 \\ x^{2} +5x-36 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}   x \leq -4, x \geq -1 \\   -9 \leq x \leq 4 \end{cases} \Leftrightarrow -9 \leq x \leq -4, -1 \leq x \leq 4$

Hợp nghiệm:$ -9 \leq x \leq 4$
b/ $\sqrt{ 5 x^{2} +10x+10} \geq 1 - x^{2} -2x$
$\Leftrightarrow \sqrt{ 5 \left(x^{2} +2x    \right) +1} \geq 7- \left( x^{2} +2x \right) $
Đặt $x^{2} +2x=t \Leftrightarrow x^{2} +2x+1-1=t \Leftrightarrow \left( x+1 \right) ^{2}-1=t \Leftrightarrow t \geq -1$
Được bất phương trình: $\sqrt{ 5t +1} \geq7-t$
Bất phương trình nghiệm đúng $\forall t \geq 7$
Nếu $t <7$:
$\Leftrightarrow 5t +1 \geq 49 -14t + t^{2} \Leftrightarrow t^{2}-19t+48 \leq 0 \Leftrightarrow 3 \leq t \leq 16$
Giao với $t<7: 3 \leq t <7$
Hợp với $t \geq 7: t \geq 3$
$\Rightarrow x^{2} +2x \geq 3 \Leftrightarrow x^{2} +2x -3 \geq 0$
$\Leftrightarrow x \leq -3 , x \geq 1$

c/ $2 x^{2} +4x+3 \sqrt{ 3- 2x - x^{2}}>1$
$\Leftrightarrow 2 \left( x^{2} +2x \right) + 3 \sqrt{ 3- \left(x^{2} +2x    \right) }>1$
Đặt $x^{2} +2x=t , t \geq -1$
Được bất phương trình $2t + 3 \sqrt{ 3-t} > 1 \Leftrightarrow 3 \sqrt{ 3-t} > 1-2t$
Nếu $ t \geq \frac{ 1}{2} $ bất phương trình luôn nghiệm đúng.
Nếu $-1 \leq t < \frac{ 1}{2}$
$3 \sqrt{ 3-t} > 1-2t \Leftrightarrow 9 \left( 3-t \right) > 1- 4t +4 t^{2}$
$4 t^{2}+5t -26<0 \Leftrightarrow - \frac{ 13}{4} <t<2$
Giao với $-1 \leq t < \frac{ 1}{2}$ được $-1 \leq t < \frac{ 1}{2}$
Hợp với $t \geq \frac{ 1}{2}$ được $t \geq -1$
$x^{2} +2x \geq -1 \Leftrightarrow x^{2} +2x+1 \geq 0$
$\left( x+1 \right)^{2} \geq 0 $đúng $\forall x$
Vậy $-3 \leq x \leq 1$ là nghiệm của bất phương trình .

d/ $\sqrt{ x^{2} -x-2} + \sqrt{ x^{2} -2x -3} \geq 2 \sqrt{ x^{2} -3x -4}$
Điều kiện:$\begin{cases}   x^{2} -x-2 \geq 0 \\ x^{2} -2x -3 \geq 0 \\ x^{2} -3x -4 \geq 0    \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} xnho -1, x \geq 2\\x \leq -1, x \geq 3 \\ x \leq -1 , x \geq 4    \end{cases} \Leftrightarrow x \leq -1 , x \geq 4$
Bất phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{ \left(   x+1 \right) \left( x-2 \right) }+ \sqrt{ \left(x+1    \right) \left( x-3 \right) } \geq \sqrt{ \left( x+1 \right) \left(   x-4 \right) }$
$\Leftrightarrow \sqrt{ x+1} \left(\sqrt{ x-2}+ \sqrt{ x-3} \right) \geq 2 \sqrt{ x+1}. \sqrt{ x-4} (*)$
Nếu $x \geq 4$
$(*) \Leftrightarrow \sqrt{ x-2}+ \sqrt{ x-3} \geq 2\sqrt{ x-4} $
$\Leftrightarrow x-2+x-3+2 \sqrt{ x^{2} -5x +6} \geq 4x -16$
$\Leftrightarrow 2 \sqrt{ x^{2} -5x +6} \geq 2x -11$
+/ $4 \leq x \leq \frac{ 11}{2} \Rightarrow 2 \sqrt{ x^{2} -5x +6} \geq 2x -11$ luôn đúng.
+/ $x> \frac{ 11}{2}$ bình phương hai vế:
$4 \left(   x^{2} -5x +6 \right) \geq 4 x^{2} -44x +121 \Leftrightarrow x \geq \frac{ 97}{24} \Rightarrow s > \frac{ 11}{2}$
Hợp nghiệm: $x \geq 4$
Nếu $x \leq -1:$
$\sqrt{ \left(   x+1 \right) \left( x-2 \right) }+ \sqrt{ \left(x+1    \right) \left( x-3 \right) } \geq \sqrt{ \left( x+1 \right) \left(   x-4 \right) }$
$\Leftrightarrow \sqrt{ -x -1} \left( \sqrt{ 2-x}+ \sqrt{ 3-x} \right) \geq 2 \sqrt{ \left( -x-1 \right) \left( 4-x \right) }$
$\Leftrightarrow \sqrt{ 2-x}+ \sqrt{ 3-x} \geq 2 \sqrt{ 4-x}$
$\Leftrightarrow 2-x+3-x+2 \sqrt{ x^{2} -5x +6} \geq 16-4x$
$\Leftrightarrow 2 \sqrt{ x^{2} -5x +6} \geq 11-2x$
Với hai vế đều dương, bình phương hai vế:
$4 \left( x^{2} -5x +6 \right) \geq 121- 44x +4 x^{2} $
$x \geq \frac{ 97}{24}$: không thỏa.
Vậy $x \geq 4 $ là nghiệm của bất phương trình

Bài 105083

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105083

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình vô tỉ

Lý thuyết liên quan