Bài 104960

Question

Giả sử phương trình $x^2 + ax + b = 0$ có nghiệm $x_1$ và $x_2$ phương trình $x^2 + cx+ d = 0$ có nghiệm $x_3$ và $x_4$ chứng tỏ rằng.
$2(x_1+x_3)(x_1+x_4)(x_2+x_3)(x_2+x_4)=2(b-d)^2-(a^2-c^2)(b-d)+(a+c)^2(b+d)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/21/2012 9:04:52 AM

Ta có :
    $\begin{array}{l}
2\left( {{x_1} + {x_3}} \right)\left( {{x_1} + {x_4}} \right)\left( {{x_2} + {x_3}} \right)\left( {{x_2} + {x_4}} \right)\\= 2\left[ {x^2_1 + {x_1}\left( {{x_3} + {x_4}} \right) + {x_3}{{\rm{x}}_4}} \right]\left[ {x^2_2 + {x_2}\left( {{x_3} + {x_4}} \right){x_3}{{\rm{x}}_4}} \right]
\end{array}$
    $ = 2\left( {x^2_1 - c{{\rm{x}}_1} + d} \right)\left( {x^2_2 - c{{\rm{x}}_2} + d} \right)$
    $ = 2\left[ {{{\left( {{x_1}{{\rm{x}}_2}} \right)}^2} - c{{\rm{x}}_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {c^2}{x_1}{{\rm{x}}_2} - c{\rm{d}}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + d\left( {{x^2}_1 + {x^2}_2} \right) + {d^2}} \right]$
    $ = 2\left[ {{b^2} + abc + b{c^2} + ac{\rm{d}} + d\left( {{a^2} - 2b} \right) + {d^2}} \right],$           $ (1)$
Mặt khác:
$2{\left( {b - d} \right)^2} - ( {a^2} - {c^2} )\left( {b - d} \right) + {\left( {a + c} \right)^2}\left( {b + d} \right)$
$ = 2{b^2} + 2{{\rm{d}}^2} - 4b{\rm{d}} + 2{{\rm{a}}^2}b + 2b{c^2} + 2{\rm{a}}bc + 2{\rm{a}}c{\rm{d}}$        $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có đẳng thức cần chứng minh.

Bài 104960

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104960

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan