Bài 104944

Question

Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$a^3+b^3+c^3\geq a^2 \sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$.

score 0 · Answer 1

Ta có:
   $3abc(a^3+b^3+c^3)=(abc+abc+abc)(a^3+b^3+c^3)$
               $=[(\sqrt{abc})^2+(\sqrt{abc})^2+(\sqrt{abc})^2][(\sqrt{a^3})^2+(\sqrt{b^3})^2+(\sqrt{c^3})^2]$
                    $\geq (\sqrt{abc}.\sqrt{a^3}+\sqrt{abc}.\sqrt{b^3}+\sqrt{abc}.\sqrt{c^3})^2 $
                          $=(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})^2$
                          $=(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})$
                          $\geq 3\sqrt[3]{(a^2\sqrt{bc}.b^2\sqrt{ac}.c^2\sqrt{ab})}(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})$
                                                                        $=3abc(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})$
                $\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq (a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})$, đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi: $ \displaystyle \begin{cases}\frac{\sqrt{abc}}{a}=\frac{\sqrt{abc}}{b}=\frac{\sqrt{abc}}{c} \\ a^2\sqrt{bc}=b^2\sqrt{ac}=c^2\sqrt{ab} \end{cases}\Leftrightarrow a=b=c$.
Cách $2$:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-sy cho $8$ số $a^3$, $2$ số $b^3$ và $2$ số $c^3$ ta được:
$8a^3+2b^3+2c^3\geq 12\sqrt[12]{a^{24}b^{6}c^{6}}=12a^2\sqrt{bc}$
Tương tự ta có:
$8b^3+2a^3+2c^3\geq 12\sqrt[12]{b^{24}a^{6}c^{6}}=12b^2\sqrt{ac}$
$8c^3+2b^3+2a^3\geq 12\sqrt[12]{c^{24}b^{6}a^{6}}=12c^2\sqrt{ab}$
$\Rightarrow 12(a^3+b^3+c^3)\geq 12(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})\Rightarrow $đpcm.
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi: $a=b=c$

Bài 104944

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104944

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan