Bài 104895

Question

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hình lập phương $ABCD. {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ mà $D(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a;0), D_1(0;0;a)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD, N$ là tâm của hình vuông $C{C_1}{D_1}D$.
Tìm bán kính của mặt cầu đi qua các điểm $B, C_1, M, N.$

score 0 · Answer 1

Do $\Delta C_1DB $ đều $\Rightarrow BN \bot DC_1\Leftrightarrow $ trung diểm $E$ của $BC_1$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BNC_1 \Rightarrow $ tâm $I$ mặt cầu ngoai tiếp $BC_1MN$ nằm trên đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $(BNC_1)$ tại $E$
Mặt phẳng $(BNC_1)$ qua $D(0,0,0)$ và có cặp véc tơ chỉ phươg $\overrightarrow{DB}(a,a,0),\overrightarrow{DC_1}=(0,a,a)$$\Rightarrow [\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC_1}]=(1;-1;1)$ nên ta có phương trình:
$x-y+z=0$
Đường thằng $\Delta$ qua $E(\frac{a}{2},a,\frac{a}{2})$ và vuông góc với $(BNC_1)$ nên$\Delta$ có phương trình tham số là :
$x=\frac{a}{2}+t,y=a-t,z=\frac{a}{2}+t$
Tâm $I \in \Delta \Rightarrow I$ có tọa độ $(\frac{a}{2}+t,a-t,\frac{a}{2}+t)$
Vì $MI=BI \Rightarrow t^2+(a-t)^2+(\frac{a}{2}+t)^2=(-\frac{a}{2}+t)^2+t^2+(\frac{a}{2}+t)^2$
$\Rightarrow t=\frac{3a}{4}$ Do đó bán kính mặt cầu cần tìm là:
$R=\sqrt{t^2+(a-t)^2+(\frac{a}{2}+t)^2} =\sqrt{\frac{9a^2}{16}+\frac{a^2}{16} +\frac{25a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{35} }{4} $

Bài 104895

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104895

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan