Bài 104855

Question

$1$ . Giải bất phương trình:

${3^{x + 1}} - {2^{2x + 1}} - {12^{\frac{x}{2}}} < 0$

$2$ . Cho

$a, b, c$ là ba số thực bất kỳ thỏa mãn

$a + b + c = 3$ .
Chứng minh rằng:

${a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}$

score 0 · Answer 1

$1.{3^{x + 1}} - {2^{2x + 1}} - {12^{\frac{x}{2}}} < 0\Leftrightarrow 3.3^x-2.4^x-(\sqrt{12})^x<0$

$\Leftrightarrow 3-2(\frac{4}{3})^x-(\frac{\sqrt{12}}{3})^x<0\Leftrightarrow 3-2(\frac{4}{3})^x-(\sqrt{\frac{4}{3}})^x<0$
Đặt

$t=(\sqrt{\frac{4}{3}})^x>0$

$x>0$

$2.$ Có :

$a^2-2a+1\geq 0,\forall x\Rightarrow a^2\geq a+a-1$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq (a+b+c)+(a+b+c)-3=a+b+c$ (do giả thiết

$a+b+c=3$ )

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3$
Tương tự ta có

$a^4+b^4+c^4\geq a^2+b^2+c^2+(a^2+b^2+c^2)-3$

$\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq a^2+b^2+c^2$

$\Rightarrow 2(a^4+b^4+c^4)\geq a^2+a^4+b^2+b^4+c^2 +c^4\geq 2a^3+2b^3+2c^3$
(Theo Cauchy)

$\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$ Đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow a=b=c=1$

1 Đáp án