Bài 104807

Question

Giải và biện luận theo $a$ bất phương trình $\sqrt {x + a} - \sqrt {\frac{a^2}{x + a}} < \sqrt {x + 2a} $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/18/2012 4:12:46 PM

Bất phương trình đã cho tương đương với:
$\frac{{\left( {x + a} \right) - \left| a \right|}}{{\sqrt {x + a} }} < \sqrt {x + 2{{a}}} $            $(1)$
a) $a = 0:(1) \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt x }} < \sqrt x $ : vô nghiệm

b) $a > 0:(1) \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {x + a} }} < \sqrt {x + 2{{a}}} $           $(2)$
điều kiện của nghiệm : $x > - a$
Khi đó $(2) \Leftrightarrow x < \sqrt {x + a} .\sqrt {x + 2{{a}}} $       $ (3)$
Do $a > 0$ nên $\sqrt {x + 2{{a}}} > \sqrt {x + a} $
    $ \Rightarrow \sqrt {x + a} \sqrt {x + 2{{a}}} > \sqrt {{{\left( {x + a} \right)}^2}} = \left| {x + a} \right| > x$
Do đó $(3)$ luôn đúng với mọi $x > - a$

c) $a < 0:(1) \Leftrightarrow \left( {x + 2{{a}}} \right)/\sqrt {x + a} < \sqrt {x + 2{{a}}} $    $(4)$
Điều kiện của nghiệm $x \ge - 2{{a}}$
Khi đó $(4)$ $ \Leftrightarrow x + 2{{a < }}\sqrt {{{x + a}}} \sqrt {x + 2{{a}}} $
Do $a < 0$ nên $\sqrt {x + a} > \sqrt {x + 2{{a}}} $
$\Rightarrow \sqrt {x + a} \sqrt {{{\left( {x + 2{{a}}} \right)}^2}} \ge \sqrt {{{\left( {x + 2{{a}}} \right)}^2}} = \left| {x + 2{{a}}} \right| \ge x + 2{{a}}$
Dấu = đạt được khi $x = - 2{{a}}$, do đó $(4)$ luôn đúng với mọi $x > - 2{{a}}$

Đáp số :
            $a < 0$ : $(1)$ có nghiệm $x > - 2{{a}}$
            $a = 0$ : $(1)$ vô nghiệm ;
            $a > 0$ : $(1)$ có nghiệm ${{x > - a}}$

Bài 104807

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104807

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình vô tỉ

Lý thuyết liên quan