Bài 104775

Question

Giải và biện luận theo $a$ bất phương trình $\sqrt {a + x} + \sqrt {a - x} > a$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/18/2012 3:12:55 PM

Điều kiện    $\left\{ \begin{array}{l}
a + x \ge 0 \\
a - x \ge 0
\end{array} \right.       (1)      \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - a          (2)\\
x \le a (3)
\end{array} \right.$
Nếu $a < 0$ : hệ $(2) , (3)$ vô nghiệm $ \Rightarrow $ $(1)$ vô nghiệm
Nếu $a = 0$: $(2) , (3)$ $ \Leftrightarrow x = 0$, mặt khác lúc đó $(1)$ có dạng $\sqrt x + \sqrt { - x} > 0$ không thỏa mãn với $x = 0$. Vậy $(1)$ vô nghiệm
Nếu $a > 0$ : $(2) , (3)$ $ \Leftrightarrow - a \le x \le a$                    $(4)$
Hai vế của $(1)$ đều $ \ge 0$ nên bình phương hai vế ta được:
    $(1)$ $ \Leftrightarrow 2{\rm{a + 2}}\sqrt {{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ - }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}} > {a^2} \Leftrightarrow {\rm{2}}\sqrt {{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ - }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}} > a(a - 2)$        $(5)$
Trường hợp $0 < a < 2$ : VP $(5)$ $ < 0$ nên $(5)$ thỏa mãn $ \Leftrightarrow \forall x$ ở $(4)$ là nghiệm
Trường hợp $a \ge 2$ : $2$ vế của $(5)$ đều $ \ge 0$, bình phương hai vế ta được
    $(5)$ $4\left( {{a^2} - {x^2}} \right) > {a^2}{\left( {a - 2} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} < \frac{{{a^3}\left( {4 - a} \right)}}{4}$       $ (6)$
Nếu $a \ge 4$ : $(6)$ vô nghiệm
Nếu $2 \le a < 4$ : $(6)$ $\left| x \right| < \sqrt {\frac{{{a^3}\left( {4 - a} \right)}}{4}} = \frac{a}{2}\sqrt {a\left( {4 - a} \right)} $            $(7)$
Chỉ lấy được những nghiệm thõa mãn $(4)$

Phải so sánh $\frac{a}{2}\sqrt {a\left( {4 - a} \right)} $ và $a$ (với $2 \le a < 4$ )
Giả sử $\frac{a}{2}\sqrt {a\left( {4 - a} \right)} \le a \Leftrightarrow \sqrt {a\left( {4 - a} \right)} \le 2 \Leftrightarrow a\left( {4 - a} \right) \le 4$
$ \Leftrightarrow {a^{\rm{2}}} - 4{\rm{a + 4 }} \ge {\rm{0}}$: đúng. Vậy các nghiệm ở $(7)$ đều thỏa mãn $(4)$

Kết luận :
        $a \le 0$ : $(1)$ vô nghiệm
        $0 < a < 2$ : $(1)$ có nghiệm là $ - a \le x \le a$
        $2 \le a \le 4$ : $(1)$ có nghiệm là $\left| x \right| < \frac{a}{2}\sqrt {a\left( {4 - a} \right)} $
        $a \ge 4$: $(1)$ vô nghiệm

Bài 104775

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104775

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình vô tỉ

Lý thuyết liên quan