Bài 104724

Question

Cho $n$ số dương $x_1,x_2,...,x_n$ với $n\in N, n\geq 3$ Chứng minh rằng:
$\frac{x_1}{x_n+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+\frac{x_3}{x_2+x_4}+...+\frac{x_{n-1}}{x_{n-2}x_n}+\frac{x_n}{x_{n-1}x_1}\geq \frac{n}{2}[2\sqrt[n]{\frac{(x_1+x_2)(x_2+x_3)...(x_n+x_1)}{(x_n+x_2)(x_1+x_3)...(x_{n-1}x_1)}}-1]$

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Đặt $ \displaystyle M=\frac{x_1}{x_n+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+...+\frac{x_{n-1}}{x_{n-2}x_n}+\frac{x_n}{x_{n-1}x_1}$
       $ \displaystyle P=\frac{x_n}{x_n+x_2}+\frac{x_1}{x_1+x_3}++...+\frac{x_{n-2}}{x_{n-2}x_n}+\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}x_1}$
       $ \displaystyle Q=\frac{x_2}{x_n+x_2}+\frac{x_3}{x_1+x_3}++...+\frac{x_{n}}{x_{n-2}x_n}+\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}x_1}$
Ta có: $ P+Q=1+1+...+1=n$
            $ \displaystyle M+P=(\frac{x_1+x_n}{x_n+x_2})+(\frac{x_2+x_1}{x_1+x_3})+...+(\frac{x_n+x_1}{x_{n-1}+x_1})$
                                      $ \displaystyle \geq n\sqrt[n]{\frac{(x_1+x_n)(x_2+x_1)...(x_n+x_{n-1})}{(x_n+x_2)(x_1+x_3)...(x_{n-1}+x_1)}}$.
            $ \displaystyle M+Q=(\frac{x_1+x_2}{x_n+x_2})+(\frac{x_2+x_3}{x_1+x_3})+...+(\frac{x_n+x_1}{x_{n-1}+x_1})$
                                      $ \displaystyle \geq n\sqrt[n]{\frac{(x_1+x_2)(x_2+x_3)...(x_n+x_{n-1})}{(x_n+x_2)(x_1+x_3)...(x_{n-1}+x_1)}}$.
Cộng từng vế hai bất đẳng thức và lưu ý $P+Q=n$, ta được:
        $ \displaystyle 2M+n=2n\sqrt[n]{\frac{(x_1+x_2)(x_2+x_3)...(x_n+x_{1})}{(x_n+x_2)(x_1+x_3)...(x_{n-1}+x_1)}}$
        $ \displaystyle \Leftrightarrow M\geq \frac{n}{2}[2\sqrt[n]{\frac{(x_1+x_2)(x_2+x_3)...(x_n+x_1)}{(x_n+x_2)(x_1+x_3)...(x_{n-1}x_1)}}-1]$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_1=x_2=...=x_n$

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