Bài 104711

Question

Chứng minh rằng nếu phương trình $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có nghiệm thì $a^2 + (b - 2)^2 > 3$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/18/2012 11:10:31 AM

Gọi ${x_o}$ là nghiệm của phương trình đã cho, ta có:
$x^4_o + ax^3_o + bx^2_o + ax_o + 1 = 0$
Suy ra ${x_o} \ne 0$. Chia cả hai vế của PT đã cho, cho $x^2_o$ ta có
$PT \Leftrightarrow x^2_o + \frac{1}{{x^2_o}} + a\left( {{x_o} + \frac{1}{{{x_o}}}} \right) + b = 0 (2)$
Đặt ${t_o} = {x_o} + \frac{1}{{{x_o}}}$ ta có $\left| {{t_o}} \right| \ge 2$, khi đó $(2)$ trở thành
$t^2_o + a{t_o} + b - 2 = 0 \Leftrightarrow t^2_o = - (a{t_o} + b - 2)$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
$t^4_o = - {(a{t_o} + b - 2)^2} \le \left[ {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \right]\left( {t^2_o + 1} \right)$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow t^4_o - 1 < \left[ {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \right]\left( {t^2_o + 1} \right)\\
\Rightarrow {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} > \frac{{t^4_o - 1}}{{t^4_o + 1}} = t^2_o - 1 \ge 3
\end{array}$

Bài 104711

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104711

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan