Bài 104683

Question

Cho $x + y + z = 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$A = \sqrt {x^2 + xy + y^2} + \sqrt {y^2 + yz + z^2} + \sqrt {x^2 + xz + z^2} $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/18/2012 10:25:06 AM

$A = \sqrt {{{\left( {x + \frac{y}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}y} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {y + \frac{z}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}z} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {z + \frac{x}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)}^2}} $
Trên mặt phẳng xét các điểm $O(0;0);{M_1}({a_1};{b_1}),{M_2}({a_1} + {a_2};{b_1} + {b_2}),$
${M_3}({a_1} + {a_2} + {a_3};{b_1} + {b_2} + {b_3})$ ta có:
$O{M_1} + {M_1}{M_2} + {M_2}{M_3} \ge O{M_3} $
$\Rightarrow \sqrt {a^2_1 + b^2_1} + \sqrt {a^2_2 + b^2_2} + \sqrt {a^2_3 + b^2_3} \ge \sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right)}^2} + \left( {{b_1} + {b_2} + {b_3}} \right)} $

Áp dụng bất đẳng thức này ta được
$A \ge \sqrt {{{\left[ {\frac{3}{2}\left( {x + y + z} \right)} \right]}^2} + {{\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {a + y + z} \right)} \right]}^2}} = 3\sqrt 3 $
Với $x = y = z = 1$ thì $A = 3\sqrt 3 $ nên $\min A = 3\sqrt 3 $

Bài 104683

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104683

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan