Bài 104629

Question

Cho các số ${x_1},{x_2},{y_1},{y_2},{z_1},{z_2}$ thỏa mãn các điều kiện
$x_1x_2>0; x_1z_1>y^2_1; x_2z_2\geq y^2_2$
Chứng minh rằng: $(x_1+x_2)(z_1+z_2)\geq (y_1+y_2)^2$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/17/2012 5:16:33 PM

Từ giả thiết suy ra ${x_1},{x_2},{z_1},{z_2},$ cùng dấu.
Do đó $\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{z_1} + {z_2}} \right) = {x_1}{{\rm{z}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{z}}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{{\rm{z}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{{\rm{z}}_{\rm{2}}}{\rm{ }} $$ \ge {y^2}_1 + {y^2}_2 + 2\sqrt {{x_1}{{\rm{z}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{{\rm{z}}_{\rm{2}}}} \ge $
$ \ge {y^2}_1 + {y^2}_2 + 2\left| {{y_1}{y_2}} \right| = {\left( {\left| {{y_1}} \right| + \left| {{y_2}} \right|} \right)^2} \ge {\left( {{y_1} + {y_2}} \right)^2}$

Ở đây đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm $x_1z_2, x_2z_1$ và bất đẳng thức quen thuộc $ {\left| {{y_1}} \right| + \left| {{y_2}} \right|} \ge {\left| {{y_1+y_2}} \right|} $ với mọi $y_1, y_2$.

Bài 104629

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104629

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan